Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
придется пользоваться в дальнейшем. Из инвариантов (3) можно посредством
линейной комбинации получить "нормальную форму р-й вариации", которая для
р = 1 имеется у Лагранжа, а для р = 2 - у Римана ; эта форма
характеризуется тем, что исключаются смешанные дифференциалы (р + 1)-го
порядка : dq 8, dq~1 б2,... Для этой формы получаем :
Из инвариантов (4) путем обобщения риманова метода можно прийти к
инвариантам, которые содержат только первые дифференциалы; такие
инварианты мы будем называть "основными функциями". Именно, если в
выражении для Ог заменить дифференциалы производными, то получается
(тождественно в отношении дх), т. е. в точности лагранжевы уравнения
инвариантное условие, чтобы выражение (d + Ад) удовлетворяло этим
лагренЖевым уравнениям :
(тождественно относительно 8 х), откуда для однородного выражения / (dx)
посредством подстановки d = d + Ад получается следующее выражение:
за исключением случая однородности первого порядка. В последнем случае
уравнение (6) должно быть добавлено в качестве нового условия, так как
тогда система уравнений (5) представляет только (п - 1) независимых
условий. Если в выражении (5) или соответственно в выражениях (5) и (6)
6ef(x,dx) = dg g (у, dy),
(3)
(Р = 0,1,2...).
Q1 = 8j(dx)-dfa(dx),
?2 = d2/-dc//6 + lc/2/62,
(4)
Qe = frf- 'df, + ~ &~г d%* + . .. + Ф f# ,
вариационной задачи, относящейся к выражению / . Я составляю
теперь
Ог (d + M) = df (dx + Ad) -(d + Щ U (dx + A dx) = О
(5)
(d + Ad) f(dx + A dx) = 0,
(6)
ИНВАРИАНТЫ ЛЮБЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 6Q7
положить коэффициенты при нулевой, первой и второй степенях X равными
нулю, то мы получим три инвариантные системы уравнений:
<Р = 0, гр = О, х = 0
(тождественно относительно дх), посредством которых d2x, ddx, д2х могут
быть выражены через первые дифференциалы. Дальнейших инвариантных систем
уравнений
daq> = 0, daip = 0, dax = 0, d^dx = 0, |
d°-*d*x = 0, ..., #'Х = 0 (<т = 0, 1,2, ...) j
будет тогда как раз достаточно, чтобы выразить все высшие дифференциалы
через первые*). Функции (4) вместе с инвариантной системой уравнений (7)
дают, следовательно, основные функции [Ц,] с одними только первыми
дифференциалами, причем [.ОД тождественно обращается в нуль [210].
Так же точно из дифференциала dh (dx, dx) основной функции h можно на
основании уравнений (7) вновь получить основную функцию, которая может
быть названа "ковариантной производной" [/z(1)] от h [211]; и пусть
вообще [/г(ст)] обозначает ковариантную производную от [/i(a l> ]. Таким
образом, оба эти процесса ведут к следующему дважды бесконечному ряду
основных функций :
[Я,], [?<*>] , . . . , [?><->]
Далее, можно показать, что левые части уравнений, выражающих высшие
дифференциалы через первые, коградиентны первым дифференциалам (т. е.
подлежат одинаковым линейным преобразованиям). Поэтому, если вместо
высших дифференциалов ввести эти левые части р, q, г, . . . в качестве
аргументов инварианта, то последний будет зависеть, кроме производных,
еще только от взаимно коградиентных величин. Вышеуказанный способ
образования функций (8) сводится просто к введению этих новых величин ;
каждый инвариант переходит таким путем в сумму инвариантов, и из этих
последних выделяют такие, которые содержат как раз dx, dx, но не p,q,r,
...
В дальнейшем будет показано, что в предположении однородности
/ (х, dx) = $>(x)t (dx) основными функциями (8) исчерпывается искомая
полная система.
II. Нормальные координаты, эквивалентность и теорема приведения
К нормальным координатам я прихожу путем интегрирования вариационной
задачи, относящейся к / :
Q1 = df (f) -j- ft, [d^ - 0 (тождественно в отношении dx),
(^)
0 (как следствие добавочного условия).|
*) Только линейная форма 27Л/ dx, нуждается в особом рассмотрении, ибо в
этом, случае система уравнений (5) не содержит вторых дифференциалов.
608
ЭММИ НЕТЕР
Вследствие предположенной однородности выражения f(dx) эта система
уравнений преобразуется в самое себя при подстановке t = xт; если, стало
быть, на основании уравнений (9) выразить как функцию q>f первой
производной, то будет однородной функцией р-го порядка :
"?(*? ) = *<(?)• о")
Если при интегрировании уравнений (9) задать для t = t0 начальные
зна-
dx, ( dx
чения х = (х)0, и если положить
"-="-" (¦?),. <")
где параметр (t -10) в силу условия
/(f-)=const
будет пропорционален "длине экстремали", то разложение в ряд по степеням
(t -10) на основании условия (10) дает :
Xi ~ (xt) о = Щ + ~ ср"> (и)+ ... +JJ- cp'J> (и) + ... (12)
Это разложение можно рассматривать как формулу преобразования переменных
х, = Xt (и), причем величины и как раз и будут нормальными координатами
Римана. Эти координаты преобразуют, следовательно, по формулам (11) и
(12) экстремали, проходящие через точку (х0), в прямые. Любому
преобразованию переменной х = х (у) соответствует, далее, на основании
соотношения (11) линейное преобразование и = u(v) соответствующих
нормальных координат, причем коэффициенты зависят только от произвольной
