Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
должны быть чистым качением. Каждое из этих малых перемещений разлагается
на вращение и поступательное перемещение, и составляющие такого вращения
и такого поступательного перемещения должны быть связаны соотношениями.
Эти соотношения аналогичны соотношениям (36); они таковы :
и' = а (уз q' - у2 г'), V = а(угг' - у3р'), w' = а (угр' - уг q').
Если мы введем эти значения и', v', w' в уравнение (40), то получим (так
как составляющие р', q', г' вращения произвольны) следующие уравнения:
d ЪТ d ЭГ , d ЭГ ЭГ , ЭГ , , . ЭГ .
Yt ~ъ$ - аУ*Ц~Ы~ + ауг dt дпГ " г ~э7 + ? ~эГ ~ а (y^+yrf)~W +
+ (-w + aytp)~ + (v + ayap)-^- = 0,
dv v r3"' Qw
d ЪТ d ЭГ , d ЭГ ЪТ , ЪТ , . . 0Г
dt dq a 7l Yt "ЭЙГ + ay^di du - P d^ + r dP ~a (ViP+VY) dv
(41)
+ (- и ~f a y3 q) - + (w -f a q) - 0,
d ЭГ 4 ЭГ , d ЪТ ЪТ . ЪТ , " . . ЭГ ,
А" _ 77 ~ a 47 + a ^ 47 ~Э7 " ? "97 + Р~Э?'' " й (у^гУ^ dw +
+ (- v + CLYir)-- + (и + ау2г)-|^- = 0 .
Это - искомые дифференциальные уравнения, которыми в соединении с
условием (36) определяется движение*).
*) В этих уравнениях производные и т. д. образуются путем
дифференцирования
функции, которая выражает живую силу для движения шара, состоящего из
качения со скольжением. Именно, эти производные получены из подсчета
величины <5Г, а живую силу Г [- вт варьированного движения нельзя
определять из выражения, пригодного только для чистого качения. Это
обстоятельство оставлено без внимания при выводе специальных формул
Неймана, которые относятся к качению по неподвижной плоскости. Эти
формулы (Вег. d. Sachs. Ges., math.-phys. KI., 1883, стр. 42 и 1885, стр.
368) нуждаются поэтому в соответствующей поправке.
36 13япиЯТ1ИПННЫР ппинпипы механики
562
О. ГЁЛЬДЕР
§ 15. Специальный случай
Предположим еще, что шар, не будучи однородным, тем не менее имеет центр
тяжести в своем геометрическом центре. Система координат х, у, г
образована главными осями инерции для центра тяжести. Живая сила
выражается тогда уравнением
2 Т = (и2 + v* + w2) М + Рр2 + Qq2 + Rr2,
где М обозначает массу; P,Q,R- главные моменты инерции. Уравнения (41)
получают вид:
р t - Мт - Лт) +(*-"?'¦ +
+ сМ [уг (р" ~ qu) + Уз (pw - ru)\ = 0 ,
"1 ~ ""Мг - '¦•т) + (р - W +
+ аМ [у8 (qw - го) + Yl (qu - pv)] = 0,
~ аМ (У-7Г W ~ М +
+ яМ [уа (ги - рш) + у2 (rv - (/1г)] = 0 . Дифференцируя уравнения (36),
получаем:
(42)
du
ЧГ
dv
ЧГ
dw
~W
-"(-?"+ ¦
dn
dt
dy3 dt
dyi n _i_ v At dt 4 + Уг л
I "P'l
P +У1-* -73-SfJ -
^ л-J-
(43)
Эти уравнения нужны затем, чтобы исключить величины - из уравнений
(42). После этого заменяем еще величины -^-правыми
частями уравнений (35) и, наконец, u,v,w - правыми частями уравнений
(36). Тогда мы получаем окончательно :
[Р + а2 М (у| + у*)] - а2Л4 у, у2 - а*Му2 yJ'-^(Q-R)qr,
dt
dr
[Q + a2M (yf + yf)] - a2My2y3~ - a2My2 Yl^ = (R - P) rp ,
df
dy
[/? + a2 Af (y\ + y2)] - J- - a2My3 Yl - a2Afy:
зУа
dq
dt
(P-Q)pq.
(44)
Мы имеем уравнения, линейные относительно ^причем определитель системы
положителен. Таким образом, мы получаем величины-^г ,
da dr
выраженные через величины Yl, у2, у3, р, q, г, которые, если не счи-
тать соотношения
У! + У! + Уз = 1 > могут быть выбраны для начального состояния
произвольно.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
563.
Простейшим случаем будет тот, в котором
P = Q = R,
как, например, для однородного шара. Тогда из уравнений (44) получается:
dp_ _ jfy _ dr_ _ " • dt ~ dt ~ dt " u '
т. e. мы имеем равномерное вращение вокруг оси, неизменно связанной с
шаром. С помощью последних уравнений, а также соотношений (43), (35) и
(36) теперь получаем еще:
("х и + а2 v + ctg w) = 0, ~ (Рг и + /32 v + /53 w) = 0.
Это означает, что центр шара движется прямолинейно равномерно.
Теперь предположим опять, что моменты инерции Р, Q, R различны, но
начальное состояние возьмем такое, при котором р = q = 0. Тогда в начале
движения ось вращения совпадает с одной из главных осей. Уравнения (44)
теперь показывают, что все время остается р = д = 0иг = const, и движение
в этом случае протекает так же, как при однородном шаре. Это можно было
предвидеть. В самом деле, если представить себе начальное состояние
таким, как указано, а шар -¦ совершенно свободным при отсутствии
приложенных к нему сил, то движение будет протекать так, как только что
описано. Если при этом начальное состояние соответствует чистому качению
по плоскости, то это же самое имеет место и во всех последующих
состояниях. Если к этому добавить связь, препятствующую скольжению, (r)т
это ничего не изменит в данном движении.
А. ФОСС
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ [20°]
Значение принципа наименьшего действия в форме, высказанной Лагранжей,
как известно, долго оставалось под сомнением, хотя уже Остроградский
установил при рассмотрении изопериметрической проблемы общие вариационные
принципы. Гё'льдеру принадлежит заслуга полного разъяснения вопроса,
новое обсуждение которого было вызвано исследованиями Герца и
Гельмгольца. Гёльдер обстоятельно рассмотрел*) связь принципа наименьшего
