Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
прямоугольной системы координат. По неподвижной плоскости ?rj катится без
скольжения шар. Пусть будут х, у, z - координаты относи-
*) Уравнения (26), если принять во внимание условие (13), а также если
иметь в виду, что s обозначает длину дуги, дают соотношение
( d2x d2y \ dz ( d2y cPz \ dx , ( d2z cPx 'i dy {WlW~'P~d7~)w+ (Z "ds2" _
W "ds2) dT + H "ds2" _ Z "ds2) dF ~
= [(?>2 - Vi)x + (v>3 - Xi)<P + (Xi - <Рз) V ] я •
Если, стало быть, выражение (28) не исчезает на всем пути, то на заданной
геодезической траектории Я является заданной функцией положения. Поэтому
две выходящие из одной точки геодезические траектории, которым
соответствуют различные начальные значения Я, будут, наверное,
различными, если в начальном положении, а следовательно, и в его
окрестности выражение (28) отлично от нуля. Если же выражение (28)
исчезает для всех значений х, у, z, то следует вспомнить замечание,
сделанное в конце последнего параграфа.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
557
тельно прямоугольной системы координат, неизменно связанной с шаром; эта
система имеет начало в центре шара. Тогда имеют место следующие
уравнения, в которых и х, у, z суть координаты одной и той же точки :
В первой системе координат | = а, ?? = /?, С = у суть координаты центра
шара, а а, р,у - координаты той точки, в которой шар касается плоскости
?г/; величина у постоянна и равна радиусу а шара. Частица шара, которая
находится как раз в точке касания, должна в данный момент иметь скорость,
равную нулю, так как иначе имело бы место скольжение. Поэтому для частицы
шара в момент ее нахождения в точке касания справедливы соотношения
Здесь х, у, z суть те значения, которые получаются из уравнений (29),
если положить в них | = a, rj = /3, С = 0. Следовательно, в уравнение
(30) следует подставлять
х=-уу1=-ау1, у = уу2 = оу2, z = уу3 = ау$.
Таким образом получаем:
Из этих уравнений последнее удовлетворяется само собою, так как величина
у постоянна, а правая часть исчезает в силу соотношений ортогонального
преобразования координат. Два первых уравнения, следовательно, вместе с
уравнением у = а являются условиями чистого качения*).
*) См. Neumann, Sachs. Вег., 1888, стр. 358.
? = а + azy a3z,
V = Р + + РгУ +
? = У + Ух* + УаУ + Уз2
и
X = "1 (? - ") + Pl (v - Р) + Ух (С - у),
у = а2 (| - а) + /32 (rj - /3) + yz (f - у),
Z = а3 (f - а) + /З3 (rj - fi) + уз (С - у).
(29)
^ = dr> - - О
dt ' dt dl
иначе,
(30)
(31)
558
О. ГЁЛЬДЕР
§ 12. Характер уравнений связей
Чтобы познакомиться с характером связей, выразим коэффициенты в формулах
преобразования координат с помощью формул Эйлера*):
аг = - cos <р cos / cos ft - sin <р sin /, а2 = - cos <р sin / cos #
+ sin <p cos /,
Px = - sin <p cos / cos ft - cos <p sin /, p2 = ~ s*n V s*n /
cos ft - cos <p cos /,
Ух = cos / sin ft, у2 - sin / sin ft,
a3 = cos <P sin ft ,
P3 = sin <p sin ft , ya = cos ft .
Вводя эти значения в уравнения (31), получим
da - - a sin <р sin ft df + a cos ср d ft, dp = a cos <p sin ft df + a
sin <p dft. (33)
Эти уравнения не являются безусловно интегрируемыми, они даже вообще не
интегрируемы **).
(32)
*) Novi Commentarii Acad. Petr op., т. XV, 1770, стр. 75. По поводу
геометрического значения углов <р, /, Д см., например, G. Kirchhoff,
Vorlesungen ilber Mathematische Physik, т. II, Mechanik, Leipzig, 1877,
стр. 43 и 44.
**) Это значит, что нет также такой функции со (а, /9, ср, /, $),
дифференциал которой исчезал бы в силу уравнений (33). В самом деле,
такая функция должна была бы (ср. А. М а у е г, Math. Ann., т. 5, стр.
449, и L i е, Theorie der Transformationsgruppen, разд. 1, стр. 91 и 92)
удовлетворять следующим уравнениям в частных производных:
дсо ,
~w = ¦ '
дсо . . " дсо , . " дсо
-гг:--a sin ср sin & - р a cos ср sin & = 0 ,
of да т др
дсо . дсо . дсо _
Ж + acoscp-^- + aSmcp w=0.
Эти уравнения, которые не образуют полную систему (ср. С 1 е b s с h,
Journal filr die reine und angewandte Mathematik, т. 65, стр. 258), могут
быть дополнены до полной системы и тогда сейчас же покажут, что может
быть доказано и непосредственно, что им может удовлетворить только
постоянная.
Отсутствие функции со, обладающей названным свойством, следует также из
того, что эта функция согласно дифференциальным уравнениям (33) должна
была бы сохранять постоянное значение; но можно перейти от каждой системы
значений а1( /?,, <plt Д, к любой другой а2, /?2, <р2, /2, не нарушая при
этом переходе уравнений (33), причем шар может быть переведен из каждого
данного положения в каждое другое положение путем качения без скольжения.
Так как этим фактом пользуется и Герц, то здесь нет надобности более о
нем распространяться. Если w обозначает некоторый постоянный угол,
выраженный в дуговой мере, и если считать & также постоянным, то
уравнениям (33) можно удовлетворить такими значениями:
a sin d a sin & . . w
a^w^^-coscp, P = w^-sm ср, /=-
Здесь ср может быть какой-либо функцией времени, и мы имеем перед собой
