Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 252

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 246 247 248 249 250 251 < 252 > 253 254 255 256 257 258 .. 461 >> Следующая

на протяжении траектории не удовлетворяют пропорции (19).
Поэтому, если условие интегрируемости не соблюдено, то оба требования
ведут к разного рода вариациям. Эти вариации грубо можно представить в
наглядной форме следующим образом. Каждой точке первоначальной траектории
соответствует согласно уравнению (13) элемент поверхности, который можно
рассматривать как плоский. Эти плоскости огибаются
*) Если сначала считать вариации конечными и если варьированная
траектория должна удовлетворять тому же условию (13), что и
первоначальная, то это попросту означало бы существование уравнения
<р (х+ дх, У + ду, z + дг) (х + дх) + у> (х + дх, у +
+ ду, г + дг) (у + ду) + х (х + дх, у + ду,г + дг) (г + дг) = О,
где а - какая-либо переменная, в зависимость от которой можно поставить
положение переменной точки первоначальной траектории. Из этого уравнения
после вычитания уравнения
. dx , , , dy , , . dz .
<P{x,y,z)~~ + y>(x,y,z) - + X(x, =0
и после отбрасывания членов, которыми можно пренебречь, получается
уравнение, стоящее в тексте. При этом вариации и их производные следует
рассматривать как малые первого порядка и опускать величины более
высокого порядка.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
553
некоторой развертывающейся поверхностью а. Варьированная траектория идет
все время приблизительно параллельно первоначальной, и таким образом обе
вместе образуют узкую ленту. При вариациях, которые соответствуют
механическим принципам, отрезок, определяемый составляющими дх, ду, dz,
лежит на элементе поверхности, соответствующем согласно уравнению (13)
точке (х, у, z), а тем самым и на поверхности а; при другого рода
вариациях этого нет. Поэтому в первом случае указанную ленту можно
приближенно рассматривать как вырезанную из поверхности а*), тогда как во
втором случае она образует вдоль первоначальной траектории конечные углы
с развертывающейся поверхностью а.
§ 9. Уравнения движения. Действительные и геодезические траектории
Составим теперь дифференциальные уравнения движения для материальной
точки. Мы применим принцип наименьшего действия в более узкой форме. Если
обозначить через s длину дуги траектории, то для действительного движения
скорость
! = с (20)
постоянна на основании теоремы о сохранении энергии. Варьированное
движение надо мыслить происходящим с той же скоростью. Принцип в этом
случае дает
-2-d{Tdt = d(cdt = d[ds = 0. тс J J J
Путем преобразования находим:
dx д dx + dy д dy + dz д dz
ё J ds = J dds = f -
ds
= $(frddx + tddy + -%ddz) = °-
Последний интеграл разбиваем на три слагаемых и интегрируем по частям;
затем вследствие исчезновения начальной и конечной вариаций получаем
<2|>
Вариации определяются тем, что дх, ду, dz представляют виртуальное
перемещение, т. е. они определяются уравнением
<р ёх -\-у> (Sy + % & = 0.
Левую часть этого уравнения нужно умножить на A ds и затем прибавить под
знаком последнего интеграла. Таким путем мы сперва получаем
I {(h(! - -S-) дх+{hp ~Ш)ду + 1Я/- --Д Н ds=°'
а отсюда
d2x . (Ру . d-z . /00.
Ч*=1Х- <22>
*) См. Voss, Math. Ann., т. 25, стр. 267 [см. стр. 564 настоящей книги.
¦- Прим. ред.].
554
О. ГЁЛЬДЕР
Так как А здесь означает неизвестную переменную, то смысл уравнений (22)
сводится к пропорции
d2x d2y (Pz . _
<23>
Но, как известно, вторые производные относятся между собой
как направляющие косинусы лежащей в соприкасающейся плоскости нормали
траектории. Эта нормаль, таким образом, тождественна с нормалью к
элементу поверхности, соответствующему точке х, у, z по уравнению (13).
Таким образом, в каждой точке траектории соприкасающаяся плоскость
перпендикулярна к элементу поверхности, соответствующему этой точке*).
Уравнения (20) и (22) соответствуют обеим формулировкам основного закона
Герца **), тогда как дифференциальные уравнения (22) совместно с
уравнением (13) определяют введенные там Герцем "прямейшие
траектории"***).
Мы только что определили действительную траекторию при помощи уравнения
6 J ds = 0. (24)
Составим теперь то же самое уравнение, но при другой точке зрения на
варьирование. Мы теперь не будем больше требовать, чтобы вариации
положений были виртуальными перемещениями, но мы потребуем, чтобы
варьированная траектория удовлетворяла тому же самому дифференциальному
уравнению (13), которому мы подчиняем траекторию, подлежащую
варьированию. Теперь перед нами стоит совсем другая задача вариационного
исчисления, из которой, вообще говоря, не вытекают действительные
траектории материальной точки. В этой задаче вариации следует подчинить
условию (17), т. е. уравнению
d<pdx + dipdy + 8xdz + (pd 8х + yid 8у + xd 8z = 0. (25)
Раскрывая уравнение (24), как раньше, мы опять получаем уравнение (21). В
последнем уравнении следует под знаком интеграла прибавить левую часть
уравнения (25), умноженную на А ****).Тогда мы, после того как
проинтегрируем по частям некоторые из членов, стоящих под знаком
интеграла, получаем обычным способом:
d2x ds2 -A( ' bcp " Эх dx ds + dy> dx dy ds
Предыдущая << 1 .. 246 247 248 249 250 251 < 252 > 253 254 255 256 257 258 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed