Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
выбрать другие постоянные значения Фх, Фг; но это исключено тем, что
начальное и конечное положения не варьируются. Теперь видно, что
результат получается тот же самый, как если бы варьирование было
выполнено в соответствии с уравнениями
6Ф1 = 0 (/=1,2,...).
Но эти последние уравнения получаются из уравнений связей, если
дифференциалы координат заменить вариациями координат; эти уравнения,
следовательно, соответствуют верному требованию, чтобы вариации положений
были виртуальными перемещениями. Теперь выясняется, почему точка зрения
Герца на принципы Мопертюи и Гамильтона внесла ограничение голо-номными
системами. Именно, Герц принимает варьированную траекторию за возможную,
т. е. за такую, которая удовлетворяет тем же условиям, что и
действительная траектория **).
§ 7. Особое условие движения для одной точки
Изложенное целесообразно пояснить примером. Так как здесь должны быть
только выяснены трудности, связанные с варьированием, то, как мне
кажется, будет достаточно, если я изберу некоторое весьма простое, хотя и
едва ли реализуемое движение; оно принадлежит, между прочим, к движениям,
допущенным Герцем***). Пусть материальная точка, на которую
*) Это обстоятельство отметил уже К. Нейман при изучении качения, на что
я обратил внимание только во время печатания этой статьи. См. Вег. d.
Sachs. Qes. d. Wiss., math.-phys. Ю-, 1888, стр. 34, особенно слова:
"Напротив, воображаемое движение, вообще говоря, не будет соответствовать
характеру системы".
**) См. №№ 347, 358, 110, 112, 113.
***) Его также рассматривал Фосс (Math. Ann., т. 25, стр. 280) [см. стр.
564 настоящей книги. - Прим. ред.].
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
551
не действуют никакие силы, связана в своем движении уравнением
<Р (х, у, z)dx + xp (х, у, z)dy + х (х, у, г) dz = 0. (13)
Следовательно, точка в любом положении вынуждена двигаться вдоль
заданного элемента поверхности; направляющие косинусы элемента
поверхности в положении х, у, z относятся как
<Р (х, у, 2): у> (х, у, z): % (х, у, г).
Уравнение (13) в особых случаях может быть проинтегрировано в форме
СО (х, у, z) - const.
В этом случае мы называем уравнение (13) интегрируемым; тогда существует
такая функция Q (х, у, г), при умножении на которую левая часть уравнения
(13) обращается в полный дифференциал. Чтобы это имело место, функция О
должна удовлетворять условиям
д(й-<р) ^ 0(fi.v>) Э(й-у) _ d(Q-x) 3(fl-z) _ 3 (О ¦ <р)
ду ~ дх ' dz ~ ду ' дх Эг '
которым, если обозначить частные производные по х, у, z соответственно
индексами 1, 2, 3, может быть придана форма:
?(9'2 - у>1) = ?1у> - ?2<Р, Q (fa - Ха) = QaX - Qsf ,
& (Xi - <Рз) = Qa f - Qi X ¦
Если эти уравнения умножить соответственно на %, у, у и сложить, то
получается
X (<Р2 ~fi) + <P (fa ~Xa)+f (Хл - <Рз) = °- (14)
Это - условие интегрируемости, которое не всегда выполняется*). Но когда
оно выполнено, материальная точка, на которую наложена вышеуказанная
связь, представляет собой голономную систему.
§ 8. Варьирование траектории
При варьировании этого движения в основном приходится иметь дело с
траекториями. Рассмотрим траекторию, соответствующую уравнению (13).
Применение механических принципов требует, чтобы вариации положений были
виртуальными перемещениями, т. е. чтобы они соответствовали уравнению
<р дх -f- у> by + X 62 = 0. (15)
Так как это имеет место для перемещений всех положений, то будет также
d (ср дх -f- гр by + х &z) = 0. (16)
Но если мы хотим варьировать так, чтобы варьированная траектория
удовлетворяла тем же условиям, что и первоначальная, то уравнение (13)
должно иметь силу для двух малых, соответствующих одна другой частей
обеих траекторий. Вычитая полученные таким образом уравнения, получаем
б (9? dx + у) dy + х dz) = 0. (17)
*) Найденное условие является также и достаточным условием
интегрируемости (см. A. Mayer, Math. Ann., т. 5, стр. 450-452, и Lie,
Theorie der Transformations-gruppen, ч. I, 1888, стр. 90-93).
552
О. ГЁЛЬДЕР
Связь обоих выдвинутых здесь для варьирования требований станет яснее,
если мы найдем такие варьирования, которые выполняют оба требования. Если
уравнения (16) и (17) развернуть и вычесть одно из другого, то в
результате будем иметь
(я>% - Vi) (дх аУ - ЬУ dx) + (v*8 - Ул) (by dz - dz dy) +
+ (Xi - rp3)(dzdx - 8xdz) = 0. (18)
Уравнение (15) совместно с соотношением (13), выполняемым для
первоначальной траектории, дает пропорцию
(дх dy - ду dx): (ду dz - dz dy): (dz dx - dx dz) = % : cp : у.
Но эта пропорция совместима с уравнением (18) только тогда, когда либо
выполняется условие интегрируемости (14), либо
дх : ду : dz = dx : dy : dz. (19)
В последнем случае мы встречаемся с варьированием совсем особого рода, с
варьированием траектории в самое себя, что соответствует варьированию,
примененному в § 5. Но уравнение (15) допускает более общий вид решения.
Точно так же уравнению (17), т. е.*) уравнению
+ (т! дх + Ту ду + ~W dz) dz + V d ёх + V й ёу + z d dz = 0'
можно удовлетворить вариациями, которые исчезают на концах траектории, а
