Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 248

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 242 243 244 245 246 247 < 248 > 249 250 251 252 253 254 .. 461 >> Следующая

только благодаря этому получены правильные уравнения движения. Гельмгольц
обосновывает свой способ решения замечанием, что величина F могла бы
рассматриваться так же, как функция координат и, вместо t, как функция #
(ср. мое первое примечание к этому параграфу). Но 0 не варьируется;
однако ясно указано, что время должно варьироваться. Следовательно, t в
первоначальном движении является не той функцией времени, что в
варьированном движении. Поэтому это рассуждение неприемлемо. Но все
представление становится верным, как только мы будем рассматривать
величину, которую Гельмгольц обозначает черезdF, как работу. В
соответствии с этим приходится по-другому формулир о вать и условие для
варьирования.
35 ТЧяпияттипнмктр ППММПИПК, МРУЯИ ITU
546
О. ГЕЛЬДЕР
Эти перемещения являются виртуальными, и их можно ввести в условие
равновесия потерянных сил, т. е. в уравнение
21 {(*, - т,^-) бх, + (У, - т, -§-) by, + [z,-т, bz,} = 0 .
To обстоятельство, что в уравнении (10) нет члена dt, может быть выражено
словами утверждением, что при применении принципа Д'Аламбера время не
должно варьироваться. Это правило соблюдается, даже если в другом случае
встречается вариация времени. Считаясь с тем, что мы, будучи
последовательными, должны обозначить через бсо, уравнения, определяющие
виртуальные перемещения, возьмем их в таком виде:
= (11)
Если движение системы подчинено уравнениям связей вида (1)
V (cpiv dx, + fiv dyr + Xiv dz,) = 0 (1=1,2,...),
м
где функции <p, ip, x зависят только от координат, то виртуальные
перемещения удовлетворяют соотношениям
2' (<p,v bx, + y>iv by, + Xiv bz,) = 0 (i = l,2,...)*).
(*¦)
Нужно еще заметить, что во всех случаях перемещения отдельных положений
системы не зависят друг от друга. Поэтому можно считать отличными от нуля
перемещения только для бесконечно малой части движения. Если связать это
представление с уравнением (6), то получается известное заключение
вариационного исчисления о том, что постоянное исчезновение левой части
уравнения (б) вызывает исчезновение также каждого отдельного элемента
интеграла, стоящего в правой части.
Требование, чтобы интеграл (7) исчезал для всех наших вариаций, опять
влечет за собой выполнение принципа Д'Аламбера. Рассмотрим подробнее
правую часть уравнения (6). Будем считать силы и действительное движение
материальной системы заданными; тогда упомянутая правая часть
определяется исключительно посредством перемещений положений системы. Она
не зависит от того, как с течением времени пробегается новая,
образованная путем перемещений, последовательность положений. Поэтому не
имеет значения, оставим ли мы вариацию движения общей, если отвлечься от
неизбежных условий связей, или же ограничим себя первым или вторым из
особых способов варьирования.
*) Аналогия приводит к сделанному Фоссом (там же, стр. 286) предложению
брать условия, которым подчинено движение, в форме
2" (<Piv dx, + y>iv dyr + xiv dz+ coidt = 0 (i = 1,2,...),
(V)
где 91, yj, x, со - функции координат и времени. Уравнения для
виртуальных перемещений получаются отсюда путем замены dt на 0, a dxv,
dy,., dz, - на Sx,, Sy,, Sz,. Тут подходящим примером мог бы служить шар,
катящийся без скольжения по плоскости, которая движется заданным образом
в зависимости от времени.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
547
Из этого и предшествующего параграфов мы заключаем, что как принцип
Гамильтона, так и принцип наименьшего действия в вышеприведенной форме
эквивалентны принципу Д'Аламбера*).
§ 4. Видоизменение принципов
Если существует силовая функция U, то уравнение (5) принимает вид
Если функция U наряду с координатами содержит также время t, то все же в
случае, если время не варьируется, мы имеем
d'U = bU, (12)
и принцип Гамильтона можно выразить уравнением
Ъ J (Т + U) dt = 0.
Когда дело идет о вариациях, которых требует принцип наименьшего
действия, то должна существовать не зависящая от времени силовая функция
U, если должно удовлетворяться уравнение (12). Условие варьирования (8)
может быть тогда выражено тем, что величина Т - U должна иметь одно и то
же значение для двух соответствующих положений действительного и
варьированного движений. Если, кроме того, время не входит в уравнения
связей, будь то дифференциальные уравнения вида (1) или конечные
уравнения, то при действительном движении величина Т - U остается
постоянной**). Тогда - U называется потенциальной энергией, Т-U - полной
энергией, и можно видеть, что полная энергия вообще не меняется ни во
время движения, ни при варьировании. Таким путем получается более узкая
форма принципа наименьшего действия. Эта форма принципа предполагает
известным, что действительное движение подчиняется предложению о
постоянстве энергии, и определяет точнее это движение тем, что оно,
будучи сравнено с другим движением, мало от него отклоняющимся и
протекающим с той же постоянной энергией, удовлетворяет условию
5 § Tdt = О;.!
*) Тем самым предрешен и вывод дифференциальных уравнений движения из
Предыдущая << 1 .. 242 243 244 245 246 247 < 248 > 249 250 251 252 253 254 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed