Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
только вариации, но и их производные должны предполагаться малыми.
544
О. ГЁЛЬДЕР
Если с помощью этого уравнения и аналогичных ему уравнений преобразовать
правую часть равенства (3), то найдем
с гг* ( dxp d вхр . dyv d dyp . dzp d Szp 'j ^ m d dt
- fi v Г*--------dT + ~dt-------w~ + Tt-----------dT) ~2T^r-
Это уравнение должно быть умножено на dt и проинтегрировано в пределах от
t0 до tlt между которыми протекает первоначальное движение. После
интегрирования по частям мы получаем
ёТ dt = - J v mv f d.2f ЪЪ + - ddP dy> + IF" dz>) dt ~ 2 i'Td dt
(4)
U U (?) V U
для t0 и tx положение системы мыслится неварьированным, благодаря
чему
пропадают члены, которые при интегрировании по частям должны были стоять
перед интегралами.
Если теперь Хр, Yv, ZP обозначают компоненты силы, действующей на массу
тр, то <У U определяется формулой
д' U = v (хг дхР + Yv дуР + Zv ёгР). (5)
О)
Уравнение (5) опять умножается на dt, интегрируется и затем прибавляется
к уравнению (4); таким путем получается
]{2Т ddt + (ёТ + ё' U)dt} =
-*о
= ldt2 {(х- - m- -^r-) ^ + (уv~mP ёуР + [zP - mv ёгР J. (б)
Если в то же время выполнить вариацию движения так, чтобы величины Ьхр,
Ьур, bzP представляли виртуальное перемещение системы, то правая часть
последнего уравнения по принципу Д'Аламбера должна быть равна нулю. Мы
имеем, следовательно, теорему:
Если сравнить действительное движение материальной системы с движением,
немного отличающижя от него, причем начальное и конечное положения
системы остаются неварьированными, а перемещения из каждого положения
действительного движения в соответствующее положение ¦варьированного
движения должны быть перемещениями виртуальными, то
${2Tddt + 0T + VU)dt} = O**). (7)
В этом уравнении Т обозначает живую силу, а Ь' V работу, которую
совершили бы действующие силы на одном из только что названных,
воображаемых перемещений.
При этом варьирование можно еще специализировать, пользуясь первым или
вторым способами варьирования, установленными в §• 1.
1. Мы требуем, чтобы соответствующие положения действительного и
варьированного движений проходились одновременно, т. е. мы полагаем й = 0
и получаем
{ (дГ + 5'V) dt = 0.
Это - принцип Гамильтона.
*) В основном эта формула имеется уже у Серре (S е г г е t, Comptes
rendus de l'Acad. des Sciences, т. LXXII, 1871, стр. 700, № 7).
**) Собственно говоря, интеграл делается лишь бесконечно малым высшего
порядка, если те величины, которые до сего времени предполагались малыми,
будут бесконечно малыми первого порядка.
О.ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
545
2. Мы полагаем, обобщая второй из прежде указанных способов
варьирования,
дТ = d'U. (8)
Тем самым мы требуем, чтобы разность между живыми силами для взаимно
соответствующих состояний обоих движений равнялась работе, которую
совершили бы действующие силы на перемещении, соединяющем соответствующие
положения. Этим определяется, каким образом должна пробегаться
непрерывная последовательность варьированных положений. Следовательно,
можно в уравнении (7) величину d'U заменить через дТ, и тогда мы получим
для этих специального вида вариаций
0 = j {Td dt + dT dt] = {{Tddt + dT dt} = j d (T dt),
т. e.
0 = d$Tdt*).
Это - принцип наименьшего действия в его расширенной форме **). Другая
форма этого принципа будет разобрана в § 4.
§ 3. Виртуальные перемещения. Эквивалентность принципов
Виртуальное перемещение здесь понимается так же, как и при аналитической
формулировке принципа Д'Аламбера. По этому принципу в любой момент
времени потерянные силы уравновешиваются связями, наложенными на точки
системы в данный момент времени. Если, например, материальные точки
вынуждены двигаться так, чтобы удовлетворялись условия
°>i (xi> Ун х2> У" h ; 0 = 0 (i =1,2,.. .), (9)
то для t нужно ввести его мгновенное значение. Связи, имеющие место в
данный момент, допускают перемещения, удовлетворяющие уравнениям
Эю; о , Эю; s . Эю; s . . Эю; " Эю; с . Эю; j, "
+ -ьтг + • • • + -ш- дхг + -ad- *Уг + -агК = 0.
дхг 1 Эух 71 Эгх 1 ' ' ' дхг г Эуг Эгг
(10)
*) Справедливость формулы J д (Т dt) = д J Т dt не затрагивается тем, что
при варьировании изменяется интервал времени. Чтобы убедиться в этом,
можно разложить интеграл j- Т dt на его элементы и отнять от каждого из
этих элементов величину, соответствующую ему в варьированном движении.
**) Эту форму принципа обстоятельно изложил Гельмгольц в Sitzungsberichte
der Berliner Akademie, 1887: Helmholtz's Ges. Abhandlungen, 1895, т. Ill,
стр. 249. Величину P, названную им потенциальной энергией, лучше было бы
определить как взятую со знаком минус силовую функцию. Именно, так как
функция F, кроме координат, должна содержать и время, то отпадает
уравнение, которым можно было бы мотивировать термин "потенциальная
энергия". Можно возразить еще нечто против способа представления
Гельмгольца. Если сравнить уравнения, обозначенные у него на стр. 259
(If) и (lg),
Э F
то можно заметить, что в разложении вариации дР опущен член dt и что
