Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 mv = У} mv (dx* + dyj* + dzf)
(-) (-)
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
541
как соответствующее действительному положению вещей. Теперь признают, что
действительное движение, вообще говоря, разнородно с варьированным
движением. Следовательно, если действительное движение и требует меньше
времени, то тем не менее оно не выделяется из группы однородных с ним
движений. Мы же издавна привыкли принцип наименьшего действия и принцип
Гамильтона формулировать исключительно так, что вариация некоторого
интеграла или интеграл, содержащий вариации, приравнивается нулю. При
этом название принципа наименьшего действия уже не соответствует его
содержанию.
§ 1. Вариация движения
Чтобы сделать более ясным понятие вариации движения, мы сначала
рассмотрим одну свободную материальную точку. Ее движение следует
варьировать так, чтобы начальное положение А и конечное положение В
оставались неизменными. Первоначальное движение - это то, которое имеет
место в действительности; новое, варьированное движение является только
вспомогательным математическим представлением. Поэтому можно траекторию
нового движения выбрать так, чтобы она мало отличалась от прежней
траектории и шла бы приблизительно параллельно ей*); в остальном она
может быть произвольна. Движение по новой траектории после этого может
происходить по любому закону. Предположим, что оба движения начинаются
одновременно в точке А; нет надобности, чтобы они одновременно
заканчивались в точке В, чего как раз не будет в том случае, когда
действительное движение совершается в течение более короткого времени,
чем варьированное. Чтобы теперь составить себе точное представление о
вариации, нужно каждое положение, которое точка занимает при
варьированном движении, отнести к некоторому положению, занимаемому
точкой в первоначальном движении**). Например: без установления такого
соответствия вариация интеграла j Tdt, в котором Т обозначает живую силу,
a t - время, имела бы какое-то значение, но равенство
6 j Tdt = J 6 (Tdt)
было бы лишено смысла. Таким образом, тождественные начальные положения,
а также конечные положения приводятся в соответствие одно с другим.
Отсюда видно, что в случае, когда движения неодновременно заканчиваются в
точке В, соответствие не может быть установлено так, что соответствующие
положения обоих движений проходятся одновременно. Итак, точечное
соответствие между обеими траекториями мы установим произвольно и будем
следить за тем, чтобы расстояния между соответствующими положениями были
малы***). Может показаться удивительным, что это точечное соответствие
траекторий лишено физического смысла, но ведь это соответствие, как и
вообще вариация движения, есть только математическое вспомогательное
построение. Примем на время для упрощения способа выражения за начало
отсчета времени то мгновение, в которое оба движения начинаются из точки
А. Если С и С' - два соответствующих положения в двух движениях, то мы
обозначим время, протекшее при первоначальном движении из А в С, через т,
а время, протекшее при переходе из Л в С' при
*) См. первую сноску к § 2.
**) Это важное обстоятельство нужно иметь в виду уже в геометрических
задачах вариационного исчисления ; Вейерштрасс постоянно подчеркивал его
в своих лекциях.
***) Точнее, две соответствующие бесконечно малые дуги обеих траекторий в
каждом месте должны находиться в определенном отношении, и это отношение
повсюду должно мало отличаться от единицы. Ср. первую сноску к § 2.
542
О. ГЁЛЬДЕР
варьированном движении, через г + 6т. Таким образом, вариация времени дг
есть не что иное, как разность между моментами прохождения через
соответствующие положения. Вариация дифференциала времени есть
алгебраическая разность между временем, затраченным на осуществление
малой частикового движения, и временем, которое требуется на совершение
соответствующей части прежнего движения*). Если, вдобавок, сравнить для
этих малых частей обоих движений начальные и конечные моменты времени, то
легко усмотреть, что вариация дифференциала времени равна дифференциалу
вариации времени; это находится в соответствии с известным предложением о
переместительности символов d и д.
Лучше всего вариация движения нашей точки выполняется так. Сначала
сообщают каждой точке первоначальной траектории некоторое смещение, так
что возникает новая траектория, точки которой находятся в соответствии с
точками прежней траектории. Затем определяют скорость в каждой точке
новой траектории. Эта скорость должна мало отличаться от скорости в
соответствующем месте прежней траектории, но в остальном может быть взята
произвольно. После этого мы будем различать два способа определения этой
вариации движения.
Первый способ варьирования получается из условия, что соответствующие
места обеих траекторий проходятся одновременно; тогда оба движения должны
закончиться в точке В одновременно.
Второй способ варьирования связан с силами, под действием которых
