Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
знаком дифференциала. Уравнения связей мы возьмем в форме
Jb {*Pir dxv ipiv dyv %jP dzr) = 0 (i = 1,2, ...) ), ,..
w U)
где величины, обозначенные буквами ср, ip, %, суть функции координат
•Ч> У11 *2) У2; ^2> *3, Уз> ' ' '
материальных точек. Необходимо отметить особенный случай, когда условия
(1) в совокупности эквивалентны комплексу условий в форме
d01 = O, d02 = 0, ..., (2)
т. е. эти условия "безусловно интегрируемы". В этом случае Герц
называет
систему голономной**). Его решение упомянутого ранее противоречия таково:
установленный им основной закон механики годен вообще для голономных и
неголономных систем; но из него получаются принцип Гамильтона и принцип
наименьшего действия, только если ограничиться голономными системами.
Шар, катящийся по плоскости, представляет собой в случае связи,
устраняющей скольжение, неголономную систему.
Это решение могло бы нас удовлетворить, если бы ему не противостояло
всеобщее убеждение, что принцип Гамильтона является лишь другой формой
принципа Д'Аламбера и что последний применим всегда. Отклонение от
обычных взглядов, к которому приводит теория Герца, не может быть
объяснено также и тем фактом, что Герц положил в основу новый закон, ибо
его основной закон в тех случаях, которые он рассматривает, эквивалентен
*) См. Ха 124. Такие условия рассматривал уже Фосс, см. Math. Ann., т.
25, стр. 258 и далее.
**) См. №№ 123, 132, 133.
540
О. ГЁЛЬДЕР
принципу Д'Аламбера*). Таким образом возникает чисто математический в
своей основе вопрос: требует ли обычный вывод принципа Гамильтона из
принципа Д'Аламбера ограничивающего условия? Решению этого вопроса и
служит настоящая работа. Ответ заключается в том, что если принцип
Д'Аламбера имеет всеобщее значение, то и принцип Гамильтона в его
наиболее полной форме должен быть справедливым всегда. Но если избрать
форму, принятую Герцем, то, действительно, появляется указанное им
ограничение. В этой работе я изложу точнее, чем это сделано до сих пор,
еще некоторые другие пункты: во-первых, само понятие варьирования
движения, затем формы принципа наименьшего действия, отношение этого
принципа к принципу Гамильтона и возможность охватить оба эти принципа
одним, более общим, интегральным принципом. Равным образом будет
показано, что и принцип наименьшего действия можно сформулировать так,
чтобы он оставался в силе в том случае, когда в уравнения связей входит
время.
О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну,
рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении,
являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность
положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения
движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного
каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая
непрерывная последовательность положений; в то же время положения этой
новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой
последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо
не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся
одновременно; в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип
наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует
здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения шара получаются
путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил
условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является
качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается
качение шара, которое Герц охарактеризовал
*) Ср. № 394 у Герца. Что касается его основного закона, который он без
надобности ограничивает свободными системами (№№ 309, 122, 117), то он
содержит два выска-
ds
зывания. Первое устанавливает постоянство производной по времени ;
величина s при этом определяется уравнением
где mv тъ... обозначают массы точек системы. Очевидно, эта часть
основного закона есть не что иное, как закон сохранения живой силы.
Вторая часть сводится к тому, что при движении величина
всегда имеет минимум. Если в последней сумме положить s = const • t, то
получается по существу то же выражение, которое согласно принципу
наименьшего принуждения Гаусса должно иметь минимум, причем, однако,
силы, которые Герц в своих основаниях исключает, должны быть положены
равными нулю. Рекомендуется сравнить это мое изложение основного закона
Герца с №№ 309, 266, 263, 55, 100, 106, 151, 152, 153 его книги; вместо
его обозначений координат я ввел опять обычные обозначения прямоугольных
координат.
На мой взгляд, значение книги Герца заключается не в форме основного
закона, а в том факте, что из закона, не содержащего сил, как бы он ни
был сформулирован, путем математического построения получаются силы. Об
этом построении, которое появляется лишь в последующих частях книги и
стоит далеко от предмета моей работы, я. здесь распространяться не буду.
