Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 242

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 461 >> Следующая

которые вместе с начальным положением и начальной скоростью однозначно
определяют движение системы (п. 331).
зев. Задача 1. Представить дифференциальные уравнения движения сво-
бодной системы в прямоугольных координатах последней.
В уравнении (d) п. 155 [т] мы имели дифференциальные уравнения прямейшего
пути системы в прямоугольных координатах. В эти уравнения
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ*
535
369.
370.
371.
372.
мы введем вместо длины пути время t в качестве независимой переменной. По
основному закону dsjdt = v независимо от t и, следовательно, от s;
поэтому мы имеем
xv = х' v , xv = х" v2.
Если мы умножим уравнение (d) п. 155 на mv2 и положим для сокращения mv2
SL = XL, то получим для решения задачи 3п уравнений вида
i
trip xv + Jy' xLv XL = 0, (a)
L=l
которые вместе с i уравнениями (см. уравнение (b) п. 155)
3/1 3п 3п О Y
= ° (ь)
v=1 v=1^
определяют 3п + i величин хг и XL как однозначные функции х" и хг.
Примечание 1. Уравнения движения свободной системы в форме п. 368
называют обыкновенно уравнениями Лагранжа 1-го рода.
Примечание 2. Каждое отдельное уравнение (а) п. 368 дает, после того как
определено XL, компоненту ускорения системы вдоль определенной
прямоугольной координаты системы.
Задача 2. Выразить дифференциальные уравнения движения свободной системы
в обобщенных координатах рв.
Дифференциальные уравнения прямейшего пути, выраженные через рв, мы
находим в уравнении (с) п. 158 [194]. В эти последние введем вместо длины
пути время как независимую переменную, а также заметим, что по основному
закону
Ре = Р> , Ре = Pl V1.
Следовательно, если мы уравнения (с) п. 158 умножим на mv2 и заменим mv2
П" через Рх, то получим г уравнений:
"j 12 Р- + 2 2 - т iff) Р- Р-! +12 Р-р- = о • <а >
(<7= 1 0=1 Г = 1 Г Г~ )
которые вместе с к уравнениями (см. уравнения (Ь) п. 158)
^ Рхд Ре Рера = о (Ь)
e=i е= 1 сг= 1 иа
определяют г + к величин рв и Рх как однозначные функции рв и рв.
Примечание. Используя соотношение п. 277 [ш], мы запишем уравнения
движения (а) п. 371 в форме
mfe + J?P"eP" = 0.
Х=1
Каждое из этих уравнений определяет компоненту ускорения системы вдоль
координаты рв, выраженную в функции мгновенных положений и скоростей
системы.
536
Г. ГЕРЦ
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
Следствие 1. Если мы выразим с помощью уравнения (а) п. 291 компоненту
ускорения через энергию, то уравнения движения свободной системы примут
вид
d ( дрЕ Л дрЕ к
dt I дрв ) др,
Примечание 1. Дифференциальные уравнения в этой форме называются
обобщенными уравнениями Лагранжа 2-го рода (см. п. 369).
Примечание 2. Если координата рв является свободной, то она
не встречается в уравнениях условий системы (п. 140) [196];
соответствующие величины pxS равны нулю и уравнения движения, отнесенные
к рв, принимают вид
d f дРЕ\ __ дРЕ _ п
dt [ 8pQ ) дре ~
В голономной системе (п. 144) всегда можно уравнения движения представить
в этой простой форме.
Следствие 2. Уравнения движения свободной голономной системы, для которой
имеем г свободных координат рв, можно записать в виде 2г уравнений (пп.
289, 375) [197]:.;
8 РЕ
др.
е
(а)
9РЕ ,, ,
ft = ir ' <b>
из которых первые содержат лишь определения, а последние содержат факты
опыта. Уравнения движения в этой форме можно понимать как 2г
дифференциальных уравнений первого порядка, которые с 2г начальными
значениями определяют 2г величин pQ и qe в виде функций
времени.
Примечание 1. Уравнения (а) и (Ь) п. 376 можно назвать уравне-
ниями движения в форме Пуассона.
Примечание 2. Из уравнений п. 376 следуют два соотношения:
9рЧд _ 9pQa , \
дРа 9 pQ ' W
дрЯя dpijg /. ч
дра 8рв ' У '
которые обладают простым физическим смыслом. Оба соотношения содержат
элементы опыта и служат для всякого возможного движения системы,
следовательно, могут быть использованы при определенных обстоятельствах
для проверки основного закона.
Третье аналогичное соотношение, выведенное только из равенства (а) п.
376, было бы только следствием наших определений.
Следствие 3. Уравнения движения свободной голономной системы можно
записать в форме 2г уравнений (пп. 290, 289, 292, 375) [198]:
8 ЯЕ ¦ _ dqE
Ре
дд ' че дре
среди которых первые содержат лишь определения, а последние - факты
опыта. Уравнения движения в этой форме можно рассматривать как 2г
дифференциальных уравнений первого порядка, которые вместе с 2г
начальными данными определяют в виде функций времени 2г величин рв и qe.
Примечание 1. Уравнения (а) и (Ь) п. 379 обычно называют уравнениями
движения свободной системы в форме Гамильтона.
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
537
381.
Примечание 2. Из уравнений п. 379 следуют два взаимных соотношения:
Э Ра дрв '
QqPq QqQo
эРс эЧс ' ^
которые обладают простым физическим смыслом. Оба соотношения содержат
элементы опыта и выделяют естественные движения из всех возможных
движений. Они могут, таким образом, при особых обстоятельствах
подтвердить обратной проверкой основной закон. Третье аналогичное
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed