Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 240

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 461 >> Следующая

системы.
Ибо квадрат величины ускорения согласно пп. 280 и 281 равен v*c2 + г)2.
Так как теперь для естественного движения Ь = 0 и, следовательно, v имеет
постоянное значение, а с имеет наименьшее значение, допускаемое данным
направлением движения и связями системы, то ускорение само принимает
наименьшее значение, согласующееся с указанными ограничивающими
обстоятельствами.
345. Примечание 1. Высказанное в предыдущей теореме свойство
естественного движения определяет это движение однозначно, и поэтому эта
теорема может вполне заменить основной закон, ибо если выражение
v2 с4 + Ъ2
должно быть минимумом, то прежде всего должно быть г> - 0, следовательно,
система проходит путь с постоянной скоростью; далее, или v = 0, но тогда
система покоится, или с должно быть минимумом, и тогда путь будет
прямейшим.
346. Примечание 2. Теорема п. 344, представленная как основной
закон, имеет перед используемой формой также и то преимущество, что она
формулирует закон как единое неделимое высказывание, а не как внешнее
532
Г. ГЕРЦ
347.
348.
349.
350.
351.
352.
объединение в одно предложение отдельных высказываний. Однако
используемая форма имеет то преимущество, что она позволяет яснее и
отчетливее распознать смысл отдельных положений.
4. Кратчайший путь
Теорема. Естественный путь свободной голономной системы между какими-
нибудь двумя, достаточно близкими положениями короче, чем какой-нибудь
другой возможный путь между теми же положениями. Ибо в голономной системе
прямейший путь между достаточно близкими положениями является
одновременно кратчайшим (пп. 190, 176) [190].
Примечание 1. Если отбросить ограничения относительно достаточной
близости положений, то нельзя утверждать, что естественный путь короче,
чем все другие пути, а также что он короче, чем все соседние пути; однако
всегда имеет место утверждение, содержащееся в предыдущей теореме, что
вариация длины пути исчезает (пп. 190, 171) [191] при переходе к любому
близкому возможному пути.
Примечание 2. Предыдущая теорема соответствует принципу наименьшего
действия в форме Якоби. Ибо если мы назовем через тг массу, dsv - длину
пути г-й точки системы в определенный момент времени, то теорема
выражает, что вариация интеграла
равна нулю при естественном движении системы, а это и есть форма Якоби
принципа наименьшего действия.
П р и м е ч а н и е 3. Для того чтобы представить отношение между
теоремой п. 347 и принципом Якоби, мы можем сказать: соответственно
обычному пониманию механики эта теорема представляет собой частный случай
теоремы Якоби, а именно случай, когда силы не действуют.
По нашему пониманию, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует
считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой
выражения нашей теоремы.
Примечание 4. Теорема п. 347 не содержит теорему о сохранении энергии ни
как предпосылку, ни как следствие, являясь полностью от нее независимой.
Вместе с теоремой об энергии она может вполне заменить основной закон,
однако лишь для голономных систем. Применяя эту теорему к другим
системам, мы также получим определенные движения, но эти движения будут
противоречить основному закону (п. 194) [192], следовательно, дадут
неправильное решение поставленных механических проблем.
5. Кратчайшее время
Теорема. Естественное движение свободной голономной системы приводит
систему из данного начального положения в достаточно близкое конечное
положение за более короткое время, чем какое-нибудь другое возможное
движение с одинаковым постоянным значением энергии, ибо если для всех
сравниваемых движений энергия и, следовательно, скорость пути одинаковы,
то время перехода пропорционально длине пути и, следовательно, является
наименьшим для кратчайшего, т. е. для естественного, пути.
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ механики"
533
353. Примечание. Если отбросить ограничения относительно достаточной
близости положений, то время перехода не будет обязательно минимумом, но
оно всегда сохраняет свойство быть одинаковым для естественного пути и
для всех бесконечно близких к нему возможных путей (п. 348).
354. Следствие 1. Для естественного пути свободной голономной системы
между данными, достаточно близкими, концевыми положениями интеграл от
энергии по времени меньше, чем для каких-нибудь других возможных движений
с тем же самым постоянным значением энергии, ибо указанный интеграл равен
произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени
перехода.
355. Примечание 1. Теорема п. 352 в форме следствия п. 354 соответствует
принципу наименьшего действия Мопертюи. Чтобы выразить точно отношение к
зтому принципу, мы должны выражаться так же, как в п. 350.
356. Примечание 2. Следствие п. 354, а также теорема п. 352 предполагают
для сравниваемых друг с другом движений энергию и время постоянными.
Вместе с предположением, что естественное движение находится среди
сравниваемых, они достаточны для определения естественного движения и
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed