Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, из 2г величин рв и р'е произвольных будет только 2r - I -
к. В этом случае дифференциальные уравнения могут быть приведены
посредством умножения на соответствующие множители и сложения к такому
виду, что I из них дают непосредственно интегрируемые уравнения, а
именно, те уравнения, которые получаются в результате дифференцирования I
конечных соотношений. Для каждого такого уравнения с индексом Я имеем:
9рха _ Эрде "
9 ре дра ~ '
Следовательно, в этом случае соответствующие величины яц исчезают из
уравнений (а) п. 125, и все р" и яг* однозначно определяются через к - /
значений остальных лх. В общем, следовательно, остаются еще 2г - 21
произвольных определяющих элементов; два элемента исчезли для каждого
конечного уравнения.
Впрочем, эти 2г ¦- 21 произвольных постоянных все же достаточны, как это
и должно быть, для того чтобы каждое возможное положение связать с каждым
другим возможным положением посредством геодезического пути, ибо если
между ре существует / конечных уравнений, то достаточно провести путь
так, чтобы два его положения имели г -¦ I общих координат с каждым данным
положением. Совпадение в отношении остальных координат будет иметь место
само по себе.
III. Соотношения между прямейшими и геодезическими путями
Теорема. Для голономйых систем каждый прямейший путь есть геодезический,
и наоборот.
Для доказательства воспользуемся прямоугольными координатами. Если
система голономная, то имеется i уравнений условий, которые умножением на
соответствующие множители и сложением в необходимом порядке получат
интегрируемую форму, т. е. их левые части совпадут с точными диффбрен-
524
Г. ГЕРЦ
циалами интегралов уравнений условий. Для каждой системы значений; Ip,
имеем тогда
и дифференциальные уравнения геодезического пути будут в соответствии с
уравнениями (а) п. 181
Эти последние отличаются от уравнений (d) п. 155 прямейшего пути только
обозначениями;
так как ни ни Я, не встречаются в остальных уравнениях. Каждый возможный
путь, который после подходящего определения удовлетворяет первому
уравнению, будет удовлетворять и второму, если положить 3L = ??-Точно так
же каждое решение уравнений (с) является одновременно решением уравнений
(Ь). Удовлетворение уравнениям (Ь) и (с) является достаточным условием
того, чтобы путь был геодезическим или также прямейшим.
191. Следствие 1. В голономной системе между какими-нибудь двумя
возможными положениями в возможном направлении возможен лишь единственный
геодезический путь (п. 161).
192. Следствие 2. В голономной системе между какими-нибудь двумя
возможными положениями' всегда возможен по крайней мере один прямейший
путь (п. 173).
193. Теорема. Если в материальной системе каждый геодезический путь есть
одновременно и прямейший, то система голономная.
Из каждого возможного положения в данном направлении, по п. 161, возможен
лишь единственный прямейший путь, следовательно, в соответствии с
предпосылкой, единственный геодезический путь. Точно так же' согласно п.
173 каждое возможное положение может быть достигнуто посредством одного
из этих путей. Следовательно, число свобод движения системы равно числу
ее независимых координат, т. е. согласно п. 146 система является
голономной.
194. Следствие. Если система не является голономной, то каждый
геодезический путь, вообще говоря, не является в то же время прямейшим.
Это следует из того, что здесь в каждом направлении возможно провести
лишь один прямейший, но много геодезических путей (пп. 161 и 187).
195. Замечание. В неголономных системах каждый прямейший путь, вообще
говоря, не является геодезическим. Это положение будет доказано, коль
скоро мы укажем такую систему, в которой прямейшие пути не находятся
среди геодезических. Примем ради простоты, что между г координатами ре
системы имеется лишь одно-единственное неинтегрируемое уравнение условия,
и пусть оно имеет вид
Сделаем предположение, что каждый прямейший путь есть в то же время и
геодезический; тогда возможно было бы для каждой возможной системы
значений ре и р'е так определить, по крайней мере, одну систему значений
р'", чтобы одновременно удовлетворить как уравнениям п. 158, так и урав-
(Ь>
(с
2РгяР'в = 0•
(а)
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
525
пениям (а) п. 185. Поэтому для всех возможных ре и р'е должны быть
удовлетворены уравнения, которые получаются от попарного вычитания
указанных уравнений:
<Т = 1
Это есть г уравнений для величины (П1-они совместны друг с другом лишь
тогда, когда для всех пар значений р и т удовлетворяется уравнение
1 f 9pia _ dpie ) , ___ 1 ( 9pig_______________dPit 'j n>
Pie I 9Pq 9pa J a Pit V 9pT 9pa J
Если теперь в г - 1 этих зависимых уравнений одну из величин р'д
выразим
с помощью уравнений (а) через остальные, то отношения между последними
будут совершенно произвольными величинами. Коэффициент при каждой •такой
величине должен равняться нулю. Мы получим, таким образом, как
