Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
течение времени dt; тогда
dqb = Рь dt,
с другой стороны,
(tm) dt
есть скорость, с которой возрастает сила в тех условиях, при которых
имеет место уравнение (267). Левая часть этого уравнения поэтому равна
т'
и если в правой части для большей ясности опять перейти к форме записи
уравнения (266), то из уравнения (267) следует:
3gPb
Pb ~~ дра ' '
или в словесной формулировке: Если все параметры постоянны, а все
обобщенные силы, соответствующие циклическим координатам, за исключением
одной (Рь), равны нулю и если обобщенная сила $Q, соответствующая
параметру ра, должна за время dt возрасти на фаМ, то адиабатическое
приращение ра при постоянстве прочих параметров вызывает убывание р'ь, и
опять отношение причины к следствию в обоих случаях одно
и то же,
если силу Рь рассматривать как причину, скорость изменения
силы $а,
равную фа, - как ее следствие, а с другой стороны, приращение координаты
dpa как причину, и убывание циклической скорости - dpb - как следствие
этой причины.
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
491
4. Из соотношений
25 + и qb = ^l
*а дра + а Ра Чь Ър'ь
следует:
дф" dp'gft /ОНО!
Ьр'ь Ьра ' '
т. е. если при постоянстве остальных циклических скоростей и параметров
приращение какой-нибудь циклической скорости р'ь вызывает приращение
внешней обобщенной силы соответствующей параметру ра, то изоциклическое
приращение ра при постоянстве остальных параметров вызывает также
приращение циклического импульса qb, соответствующего р'ь; при этом, как
сокращенно выражается Герц, опять для бесконечно малых приращений
отношение следствия к причине в обоих случаях - одно и то же. И опять-
таки для моноциклов приращение циклической скорости имеет тот же знак,
что и приращение циклического импульса.
5. Совершенно так, как из уравнения (266) было получено уравнение (268),
можно из уравнения (269) образовать новое. При образовании частной
производной в правой части последнего уравнения принято, что и Рь имеют
такие значения, что все параметры, за исключением одного ра, остаются
постоянными. При этом Ръ означает обобщенную силу, соответствующую
циклической координате рь, а приращения величин ра и qb за время dt
мы обозначим через dpa и dqb. Тогда частное будет равно величине,
"Ра
которая в формуле (269) обозначена через , но dpa = padt и dqb = Pb dt;
opa
поэтому
Эо-дь Рь
dpa ~ Pa
и уравнение (269) можно написать в виде
Эф" = Рь др'ь Ра
ЁЗк - JL(270)
Словами это можно выразить так: Если при постоянстве прочих циклических
скоростей и параметров приращение одной циклической скорости р'ь вызывает
приращение обобщенной силы $а, соответствующей параметру ра, то для
обеспечения изоциклического приращения ра при постоянстве остальных
параметров циклической координате рь должна соответствовать обобщенная
сила Рь; при этом опять отношения между причиной и следствием в обоих
случаях должны быть равны, если рассматривать приращение р'ь как причину
и приращение как ее следствие, а с другой стороны, ¦скорость ра, с
которой изоциклически меняется ра, - как причину необходимости приложить
силу Рь, последнюю же - как следствие этой причины.
§ 53. Теоремы Гельмгольца о смешанных циклах
Гельмгольцу принадлежат некоторые соображения, обладающие несколько
большей общностью. Пусть опять дана система из п точек, которые могут
находиться во взаимодействии с п' точками, закрепленными раз и навсегда,
причем эти точки могут быть также, если угодно, причислены к п точкам.
Пусть F - силовая функция всех сил, действующих между этими точками, Т -
кинетическая энергия п точек. Здесь положим опять, как
492
Л. БОЛЬЦМАН
мы это делали в §§ 45-52 (но вразрез с прежними нашими обозначениями) г
Т + F = Е,
Т - F = Н,
так что Е есть полная энергия п + п' точек. Между координатами, которые
определяют положение п точек, могут быть циклические, которые мы опять
обозначим через рь; это значит, что они могут входить в выражения для Т и
F только под знаком производной по времени. В выражение-для Т могут
входить только р'ь. Пусть общее число этих циклических координат будет а.
Следовательно, полная обобщенная сила -взаимодействия п -f- п'
точек, соответствующая какой-либо циклической координате, должна быть
равна нулю. Остальные координаты могут и не быть медленно изменяющимися,
это - совершенно произвольные координаты. Мы назовем их поэтому обычными
координатами и обозначим их опять через рн. Пусть их общее число будет s.
Величины р не должны удовлетворять больше никаким уравнениям связей.
Такую систему, которая хотя и содержит циклические координаты, однако
остальные координаты которой не являются медленно изменяющимися или, по
крайней мере, не все будут медленно изменяющимися, мы назовем смешанным
циклом, а в противоположность ему такую систему, которая содержит только
циклические или медленно изменяющиеся координаты, будем называть чистым
циклом.
Легче всего понять вывод относящихся сюда уравнений, если считать, что
