Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Эта формула применима ко всем подлинным моноциклам, в которых любые массы
совершают циклическое движение, так что все они в течение одного и того
же времени одновременно возвращаются в свое исходное положение и затем
снова повторяют то же самое движение. Такие моноциклы Гельмгольц называет
простыми подлинными моноциклами; легко видеть, что они образуют частный
случай периодических систем., рассмотренных в § 48.
Пусть в состав цикла входит несколько различных систем масс, из которых
каждая система совершает подобное описанному, переходящее само в себя
движение, причем периоды г, ix, г2, . . . для отдельных систем различны.
Тогда, если длительность этих периодов, помимо зависимости от медленно
изменяющихся параметров, зависит также от многих независимых циклических
скоростей, то система называется несвязанным или частично связанным
полициклом; если же эта длительность зависит, кроме параметров, от
значения одной-единственной циклической скорости, то система называется
вполне связанным полициклом или сложным моноциклом. Если
в последнем случае число отношений-Г, -у-,... конечно и значения этих
отношений совершенно независимы от значений параметров (медленно
изменяющихся координат), то можно эти отношения без существенного
изменения условий мыслить как рациональные дроби, хотя и с очень большим
общим знаменателем; поэтому можно найти такой, больший, промежуток
времени /, для которого движение всех систем масс является периодически
повторяющимся, так что вся механическая система представляет собою
простой подлинный моноцикл с периодом / и все доказанное для такой
системы оказывается приложимым и в данном случае.
Однако это становится сомнительным, когда число отношений -j-, ,...
является бесконечно большим, и во всяком случае не имеет места, когда эти
отношения являются непрерывными функциями параметров, потому что тогда
циклические координаты вместе с параметрами, вообще говоря, не образуют
систему голономных координат*). Но все выведенные формулы
*) Borchardts - Crelle Journal, т. 98, вып. 1, стр. 87 (1855); Wien.
Sitz. Вег., т. 111, стр. 1603 (1902). Представим себе, например, два
параллельных конических вала, сужающихся в противоположных направлениях.
Пусть имеется бесконечный ремень или фрикционный диск, который непрерывно
перемещается вдоль этих валов таким образом, что он соединяет то толстую
часть одного вала с тонкой частью второго, то наоборот. Примем путь s
какой-нибудь точки первого вала, не лежащей на его оси вращения, за
циклическую координату, а перемещение а ремня или фрикционного диска-за
медленно изменяющуюся координату. Увеличим теперь s на конечную величину
<т, потом а - также на конечную величину а; затем, наоборот, сначала
увеличим а на величину а, а потом s - на величину а. В том и другом
случае какая-либо точка второго вала, не лежащая на его оси вращения, не
попадет, вообще говоря, на одно и то же место. Итак, хотя заданием значе-
486
Л. БОЛЬЦМАН
годятся только для голономных координат, ибо, как мы уже упомянули в § 4
(в сноске на стр. 16), во всей книге, за исключением §§ 27 и 28, под
обобщенными координатами понимаются исключительно голономные обобщенные
координаты. Мы не будем по этому поводу вдаваться в дальнейшие
подробности, а докажем лишь одно, весьма общее предложение, найденное
Гельмгольцем.
Пусть дана любая сложная моноциклическая (т. е. полностью связанная
полициклическая) система, медленно меняющиеся координаты которой мы
обозначим через ра, а быстро изменяющиеся координаты - через р.
Предполагается, что при соответствующем изменении движение может
протекать совершенно так же, как и ранее, причем только все скорости
умножаются на одно и то же для всех скоростей постоянное, но совершенно
произвольное число п, так что длительность всех процессов уменьшается в п
раз. Если теперь имеется всего лишь один медленно изменяющийся параметр
ра) то вся содержащаяся в системе живая сила является интегрирующим
делителем для дифференциала подводимой извне энергии; если же имеется
несколько параметров ра, то та же самая особенность имеет место всякий
раз, когда этот дифференциал вообще имеет интегрирующие множители.
Пусть сначала имеется лишь один медленно меняющийся параметр ра; в этом
случае возможны два рода изменений состояния: 1) при неизменных
траекториях пропорционально меняются только скорости всех движущихся
частей, 2) меняются траектории. Форма траекторий зависит поэтому только
от одной независимой переменной величины, тогда как другая независимая
переменная величина определяет только скорости, с которыми точки движутся
по траекториям. Если по-прежнему варьировать пределы таким образом, чтобы
последний член в уравнении (223) [167] обращался в нуль, то при
возвращений на прежнюю траекторию мы должны прийти к первоначальным
пределам, оба члена в правой части уравнения (238) [1в8]
делаются равными и делается полным дифференциалом.
Если имеется больше одного медленно изменяющегося параметра qa, то Т,
