Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
безразлично, какие точки причисляются к рассматриваемой системе и какие
рассматриваются как внешние. В одном случае может в особенности
выдвигаться одна, в другом - другая аналогия со свойствами нагретого
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
477
тела. Поэтому можно также и v точек причислять к рассматриваемой системе,
так что тогда
V = f + Q
является потенциальной, а
Jn>v = T+V=T+ F + Q
- полной энергией всей рассматриваемой системы. Тогда опять дТ + 6У было
бы аналогично подведенному теплу, но 6vV = 6PQ было бы аналогично
энергии, подведенной к системе в форме внешней работы, тогда как -6/2
аналогично количеству тепла, затраченного на совершение.внешней работы.
Когда силы, имеющие силовую функцию Q, не являются обычными
дальнодействиями, а принимают нулевые значения при некотором определенном
расстоянии точек, между которыми они действуют, а при несколько большем
или несколько меньшем расстоянии бесконечно возрастают, то, несмотря на
это, -Q постоянна, поэтому
6Q + <5"?> = 0,
и обе точки зрения приводят к одному и тому же. В центробежной модели это
условие, конечно, выполняется; пользуясь образом газа, запертого поршнем,
можно также без существенного видоизменения задачи считать это условие
выполненным, так как и в этом случае на изменение силовой функции тех
сил, которые действуют между молекулами газа и молекулами поршня,
затрачивается исчезающе малое количество энергии, так что изменений Q
можно не принимать в расчет.
Через мы обозначили силы, которыми v точек действуют на п точек (поршень
на газ). Равные и одинаково направленные силы действуют в случае покоя v
точек со стороны N точек на v точек (рука или грузы с наружной стороны
легко подвижного, запирающего газ поршня). Численно равными и
противоположно направленными силами действуют п точек на v точек или v
точек на N точек. Для случая исключительно медленного движения у точек,
когда почти весь процесс оказывается обратимым (обратимое расширение
газа), сказанное выполняется, если не в точности, то по крайней мере с
очень большим приближением.
Поэтому -d"V есть также та работа, которая совершается вследствие
движения v точек против тех сил, которыми N точек действуют на v точек и
которые обусловливают то обстоятельство, что последние при неварьи-
рованном движении остаются в покое, а при варьированном движутся весьма
медленно. Эти силы полностью равны силам $л.
§ 47. Применение принципа наименьшего действия
Теперь дЕ, бТ и б V имеют тот же самый смысл, что и в формуле (223) § 36.
Функция V, конечно, содержит, кроме координат п точек, также и координаты
v точек, и выражения, содержащие последние, играют в выражении силовой
функции роль медленно изменяющихся параметров, поскольку v точек движутся
медленно; однако это не имеет места, пока движение остается
неварьированным. Поэтому во время неварьированного движения функция V
координат п материальных точек не содержит явно входящего времени: это
одно только и предполагается в § 36. Действия, производимые
478
Л. БОЛЬЦМАН
бесконечно малым движением v точек, приписываются там добавочным силам.
Поэтому теперь опять имеет силу уравнение (223), а именно:
2 "5 \т dt = J' 6Е dt + 2 (як *Рк - Я1 Щ) ¦
h h h=\
До сих пор мы рассматривали неварьированное движение в течение промежутка
времени tx -10 и наряду с ним, совершенно независимо от него,
варьированное движение в течение промежутка времени t± + 6tt -10.
Теперь мы займемся рассмотрением перехода от одного движения к другому.
Тут прежде всего совершенно безразлично, в какой или в какие моменты
времени на протяжении всего времени tx -10 добавочные силы подвели
энергию к п точкам. Наоборот, совсем не безразлично, произошло ли все
смещение v точек в один-единственный момент, лежащий между t0 и tlt или
же это смещение составилось из нескольких смещений на протяжении времени
^-10, а также, когда именно произошло каждое из этих частных смещений.
Приращение полной энергии п точек есть
6Е -6Q = d(T + F) = 6Jn,
а приращение всей живой силы и силовой функции п + v точек
= 6T + dF + ЙПОЛН& = йТ + <5П0ЛН V.
Значения, которые принимают эти приращения к концу движения, т. е. в
момент -f 8tv естественно, не зависят от того, в какой именно момент
имело место полное перемещение v точек, если только это перемещение
одинаково для всех точек. Напротив, общая внешняя работа, будем ли мы ее
определять как 8Q или как - 8Р Q, зависит от того, когда имело место
перемещение v точек; то же самое относится и к энергии 8Т -j- 5V, которую
добавочные силы в общем должны подвести за время ^-10 к п точкам.
В самом деле, эта энергия равна
6Т + 6nomlV - 6rQ = 6T + 6F + 6Q.
Пусть теперь в течение всего времени tx - f0 движения v точек
передвигаются равномерно из положения, которое они занимают для
неварьирован-ного движения, в положение, соответствующее варьированному
движению, таким образом, что первое положение они имеют в момент /0, а
последнего достигают как раз в момент В то время как движение п точек
