Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
координатам дают, наряду с консервативными внутренними силами, и внешние
силы. Эти внешние силы можно мыслить разложенными на составляющие, из
которых каждая ускоряет только одну координату системы ; составляю-
(О
(2)
ОТРЫВОК ИЗ "ЛЕКЦИЙ по динамике дискретных материальных точек" 463
щую, соответствующую координате ph мы обозначим через (-Р,). Поставленный
здесь знак (-) не ограничивает по существу направления силы, ибо Р,
следует рассматривать как алгебрическую величину. Когда при движении
системы координата изменяется на dph то при этом, если (-Р,) имеет
положительное значение, внешняя сила производит работу, следовательно,
энергия системы увеличивается ; наоборот, если при этом (-Р()
отрицательна, иначе говоря, если сама величина Р, имеет положительное
значение, то система производит работу за счет своего запаса энергии.
Количество этой отданной наружу энергии, согласно определению понятия
работы, равно + Р, dp,-; выбор знака (-) при составляющей силы и имел
целью дать положительное по форме выражение этой работе, произведенной
системой ; можно сказать, что Р, есть та сила, с которой система
реагирует на внешние влияния, увеличивающие координату pt. Если ввести
условие, что Р, не зависят от внутреннего состояния системы и являются
заданными функциями времени или в простейшем случае вообще постоянны, то
добавочные члены легко находятся в форме суммы, которая содержит каждую
из сил Р" умноженную на соответствующую координату pt. (Именно такое
добавление мы уже делали в конце § 60, в условиях равновесия, уравнение
(154Ь) [159]; только знак там был противоположным, потому что внешние
силы там были введены положительными.) Принцип Гамильтона приобретает
тогда расширенную форму :
d$\<I>-L + 2Pipl)dt = 0. (3)
f.
Вариация интеграла и теперь также может быть выполнена путем варьирования
ph как и в § 65, причем следует оставить в силе условие, что положения,
получающиеся в результате виртуальных перемещений, проходятся точками
системы одновременно с действительными положениями и что Р, как функции
одного только времени не участвуют в вариации. Отсюда вытекает требование
:
Щ [е+- iji + Ю ,р' =0 '
^ о
которое при произвольных функциях времени 6р, может быть удовлетворено
только в том случае, если во всякое время выражение, заключенное в прямые
скобки, для любого значения i в отдельности равно нулю. Таким путем
получается следующая система уравнений :
р - _ ¦ *к. _ ± (JL_) f4)
~ dpi + dpi dt { dqi ) ' W
которая и дает желаемое расширение дифференциальных уравнений Лагранжа.
Реакция движущейся системы против внешних сил (ибо таков
смысл величин Рг) складывается из внутренних сил ^и аналогов центробежной
силы из которых вычитаются скорости изменения коли-
честв движения (mutationes motus (изменения движения) второй аксиомы
Ньютона), представляющиеся после выполнения над L предписанных
дифференцирований как однородные линейные функции ускорений. Если р,
означают декартовы координаты в неподвижной системе, то
1 ^ (dxi\*
464
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
следовательно,
9L dxt d (dL\ d2Xi
~9?7 ~~ т' ~ИГ и It ("эдГJ - т' ~dt2~
т. е., по определению Ньютона, силы, которые сообщили бы соответствующим
точкам, если бы те были свободны, как раз их фактические ускорения.
Взятые со знаком минус, с которым они входят в уравнение (4), эти
составные части реакции соответствуют отрицательным д'аламберовым
добавочным силам, которые способны уравновесить приложенные силы, в то
время как только положительные д'аламберовы добавочные силы управляют
движением. Между прочим, можно и уравнения (4) преобразовать, перенося
производные от количеств движения со знаком плюс влево, а силы Р, со
знаком минус - вправо ; но тогда мы не будем иметь дело с реакциями, а
будем иметь уравнения, которые представляют ускорения как результат
действия внутренних и внешних сил.
§ 76. Кинетический потенциал
В принципе Гамильтона оба вида энергии фигурируют только совместно, в
форме разности Ф-L, при выполнении варьирования они разделяются. Между
тем дифференциальные уравнения Лагранжа как первоначальные (2), так и
расширенные (4) легко написать в такой форме, чтобы и в них оба вида
энергии также входили только в форме разности. Так как потенциаль-
" 9 Ф
ная энергия зависит только от координат, но не от скоростей, все -т.-, а
сле-d ( дФ\ Ч1
довательно, и все-^- (-g^rj равны нулю. Поэтому, если последние выражения
прибавить к правым частям уравнений (4), то этим их справедливость не
нарушится, а следовательно, их можно написать в таком виде :
_ э (Ф-L) й_ (д(Ф - L)\
1 9Pi + dt { dqt J '
так что и в это выражение входит только разность Ф-L, временной интеграл
от которой, согласно принципу Гамильтона, должен иметь экстремальное
значение. В дальнейшем мы эту функцию, которая только и нужна для
выражения динамических принципов, будем обозначать одним знаком Н,
полагая
Ф - L = Н, (5)
и называть эту величину кинетическим потенциалом системы. Кинетический
