Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 203

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 461 >> Следующая

действительном пути системы есть минимум сравнительно со значениями его
на других близких путях, которые приводят систему в то же время из того
же начального в то же конечное положение". По моему мнению, среднее
значение кинетического потенциала в этом случае имеет не минимум, а
максимум. Это можно доказать следующим образом. Займемся С для
простоты случаем одной только материальной точки
/Ч (с двумя или тремя степенями свободы) и сравним ее действи-
/ \ тельное движение по пути abc с другим, воображаемым,
/ \q кинематически возможным, которое происходит по пути / /\Л а^с
за т0 же вРемя (см- рисунок). Возьмем на пути ahc
J /\|е какую-нибудь точку е и определим такое действительное
Ь/ / /л движение нашей материальной точки, при котором она по
/ / У J пути ае приходит из а в е в то же время, как при вообра-
| /У / жаемом движении по пути ahe. Если точку е мы будем
1 / У постепенно перемещать от а к с, то путь ае будет изменять-
ся, начиная с бесконечно малого пути и кончая путем abc. Предположим, что
материальная точка за бесконечно малый промежуток времени dt переходит в
воображаемом движении из е в d, а в действительном движении по пути ag из
/ в g. Так как действительные движения по пути af и ае происходят за один
и тот же промежуток времени, то на основании принципа Гамильтона мы
получим
аЬ а/
f (F - L)dt - J (F - L)dt= - mv cos a da,
где m - масса материальной точки, v - ее скорость в точке /, da -
бесконечно малая линия ef и а - угол gfe. Положив fg = ds и eg = dl, мы
из бесконечно малого треугольника efg найдем
dl2 = ds2 + da2 - 2 ds da ¦ cos a.
*) H. Helmholtz, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, т. 100,
вып. 2, 1886. [См. предыдущую статью. Прим. ред.]
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
461
Отсюда получается неравенство
т ( dl\2 .. ^ т ( ds Л2 ,, ds .
й>т(?) f '
которое на основании вышенаписанной формулы переходит в следующее :
аЬ а/
f (ff" >f (wJ <" + J(F - У л - I (f - О й •
Прибавим к обеим частям этого неравенства где Fg означает потен-
циальную энергию в точке g, и дадим ему такой вид :
af ае
J (F - L) dl + [F, - f dt - j\F -L)dt>[Ft - f (f)] Л,
*
ИЛИ
ag ae
j (F _ L) dt _ J (F _ L) dt > [Fg - (tm) )] dt. '
Сложим такие неравенства для всех элементов dt воображаемого движения :
abc ahc
J (F - L)dt> j (F - L)dt.
Разделив обе части этого неравенства на время t, в течение которого
происходит движение по путям abc и ahc, найдем, что среднее значение
кинетического потенциала в действительном движении будет больше среднего
значения его в воображаемом движении. Это доказательство легко может быть
распространено на любую систему материальных точек.
Справедливость моего положения можно проверить и на примерах. Вообразим
материальную точку, брошенную со скоростью v0 под углом <р к горизонту и
движущуюся по параболе под действием силы тяжести, и сравним ее движение
с равномерным движением, которое происходит за то же время по прямой
линии, соединяющей точки пересечения параболы с горизонтальной плоскостью
; мы получим среднее значение кинетического потенциала для прямолинейного
движения
1 о-о nwl
-к- mv\ sin2 <р ,
которое, очевидно, меньше, чем среднее значение кинетического потенциала
2 о.о mvl
у mvl sin2 <р 5-
для параболического движения.
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
ОТРЫВОК ИЗ ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ ДИСКРЕТНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК"!157]
4. РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ, В КОТОРОЙ ИМЕЮТ СИЛУ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
§ 75. Добавление любых внешних сил
Во втором отделе этой четвертой части [168 ] был установлен в качестве
принципа, выражающего в краткой форме способ действия чистых движущих
сил, принцип Гамильтона
из которого путем выполнения указанным в этом отделе способом вариации
временного интеграла мы вывели лагранжевы уравнения движения для любых
координат в такой форме :
В обоих выражениях, различающихся между собой только по форме, фигурируют
как функции состояния обе известные формы энергии : потенциальная Ф и
кинетическая L. Тем самым область применимости этих принципов
ограничивается консервативными системами, в которых действующие силы либо
являются исключительно внутренними (свободные системы), либо такими
внешними силами, для которых известно выражение потенциальной энергии,
например сила тяжести или притяжение Солнцем в примерах §§ 73 и 74.
Однако часто случается, что необходимо предусмотреть действие таких
внешних сил,, величина и направление которых в каждый данный момент,
правда, известны, но консервативность которых не установлена, а иногда и
не может быть установлена; это имеет место во всех тех неполных
отображениях действительности, в которых оперируют с силами, входящими в
расчет как заданные функции времени.
Вышеизложенные принципы механики можно расширить таким образом, что они
смогут дать правильное основание также и для решения только что
упомянутых задач. Именно, к потенциальной энергии присоединяют
определенные добавочные члены, которые при дифференцировании по
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed