Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
направлении координаты р, . При этом следует заметить, что, вообще
говоря, силы Р, являются агрегатами составляющих сил, которые действуют
на различные части системы и так распределены, что агрегат сил Р( не
совершает работы при изменении каких-либо других координат, кроме р,-.
Так как, далее, нам приходится различать прямое и обратное движения, то
оказывается целесообразным считать положительными те приращения d§"
которые увеличивают прямой импульс равно как считать положительными те
перемещения dph которые увеличивают расстояние р,- - р,-; наоборот, для
обратного движения следует рассматривать также и отрицательные значения
dsh которые увеличивают обратный импульс (- s,) и отрицательные
перемещения (- dpi), которые увеличивают расстояния р, - р(,
эквивалентными положительным изменениям d§, и dp, при прямом движении.
Тогда закон взаимности может быть выражен следующим образом:
Если удар, который увеличивает только импульс §, в начальном положении
при прямом движении на величину d%b увеличил координату pj в конечном
положении на dpj, то эквивалентный обратный удар, который увеличивает
настолько же обратный импульс -Sj в прежнем конечном положении, вызовет
по истечении времени t эквивалентное обратное изменение координаты р,.
Дифференциальное уравнение (63) открывает много возможностей для
преобразования выражений путем выбора других независимых переменных,
которыми частично пользовался уже Гамильтон*). Но так как он при этом
предполагал, что живая сила является однородной функцией второго порядка
от скоростей, то я позволю себе здесь провести то из этих преобразований
для более общей формы задачи, при котором не приходится исключать
действие внешних переменных сил. Это'преобразование получается следующим
образом: в выражении для Н или соответственно для Е скорости q{
заменяются импульсами s,.
Мы рассматривали кинетический потенциал Н как функцию р, и </,. В
соответствии с этим
*) Philosoph. Transact., 1835, ч. 1, стр. 98-100, см. также К. Якоби,
Лекции по динамике, лекция XIX.
J Pidt = sx - s0.
§ 7. Введение импульсов вместо скоростей в качестве независимых
переменных
(73)
458
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
Мы ввели обозначение
dqt
Отсюда следует
dE = d \н + 2 (s' ?/)] = 2 (-Щ; dPi + Ч, ds,) • (74)
Если определитель величин -щ- не равен нулю, мы можем р, и s, ввести в
качестве переменных вместо р, и qt, и тогда из уравнения (74) получается:
эн _ _дЕ_ _ dpj_ _ эЕ dpi Эр, ' di dt 3s,' '
Здесь при частных дифференцированиях предполагается, что Н выражается в
функции переменных р, и qt, а Е - в функции переменных р, и s,.
Отсюда находим значение силы, определяемое уравнением (4):
r-j 9Е dSi dpi 9Е ,75^
l~~~di)t Ж' Ж ~~ ~dsT ' { '
" = ?-Об)
Соответствующая вариационная задача получает несколько иную форму по
сравнению с формой Гамильтона :
h
W = ^dt\E + 2[Pi{Pi + ^r)]}- (77)
Здесь Pj рассматривается как функция одного только времени, Е - как
функция и Sj. Проварьируем р, и s, одни независимо от других и потребуем,
чтобы для предельных значений времени все dst были равны нулю. Тогда без
других вспомогательных уравнений условие
6W = О
дает обе системы уравнений движения (75).
При таком способе представления нам вовсе не нужно знать кинетическую
энергию, но нам должны быть известны величины s" которые
для более общей формы Е мы можем вывести из qt только посредством
функции Н.
Соответствующая форма дифференциального уравнения (63) для случая, когда
Р, равны нулю, получается путем прибавления к обеим частям уравнения
ёФ = Edt - 2 (si dpi) - 2 (h dpd (63)
величины 1 '
d [2 (si pd - 2 (it Ф,)];
это дает ' '
d[0 +2 (Si Pi) ~ 2 (3/ Pi)] = dW = Edt+ 2 (Pi ds,) - 2 (Pl d$d- (76)
i i i i
Поэтому, если E, pt и р,- представлены как функции времени t, а также
переменных s, и §,, то справедливы следующие системы уравнений :
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
459
Средняя из этих систем уравнений может быть снова применена подобно
уравнениям (61) для того, чтобы образовать второй закон взаимности. В
начале промежутка времени t совершается перемещение тогда как другие р, и
остаются без изменения ; в результате по истечении времени t величина s2
изменяется на <3s2. Затем при обратном движении изменяется только р2 на
величину др2, в результате чего по истечении времени t импульс меняется
на величину 6Тогда мы опять будем иметь
не равен нулю. Если же он равен нулю, то оба положения являются взаимными
фокусами движения.
% : ds2 = <5р2: <5^ в предположении, что определитель уравнений
(78)
Берлин, апрель 1886.
Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА р6]
В своей очень интересной статье "О физическом значении принципа
наименьшего действия" Г. Гельмгольц*) называет взятый по времени интеграл
/
\§(F-L)dt, где F и L означают потенциальную энергию системы и ее
0
живую силу, "средним значением кинетического потенциала" и устанавливает
следующий принцип: "Среднее значение кинетического потенциала на
