Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
более узкого, из которого исходили Лагранж и Гамильтон.
Изложенные в этом параграфе условия, которые налагаются на величины,
входящие в дифференциал (63'), сводятся к уравнению, которое дает Е как
функцию pi и s" если воспользоваться преобразованием К. Якоби*).
§ 6. Взаимность прямого и обратного движений
Я называю движение системы обратимым в том случае, если ряд положений,
которые система занимала при прямом движении, может быть пройден в
обратном порядке без приложения других сил и за те же промежутки времени,
соответствующие каждой паре одних и тех же положений. Обращение возможно,
если значение кинетического потенциала не меняется при изменении знака у
всех qh Но если в выражение кинетического потенциала входят произведения
или степени нечетного измерения, как это, например, бывает при наличии
скрытых движений (§ 1), то движение будет обратимым только в том случае,
если возможно с механической точки зрения сделать отрицательными также и
часть постоянных (скорости скрытого движения) так, чтобы при
одновременном изменении знака у этих постоянных и у всех <7, величина Н
не меняла своего значения. Этот результат легко получается из
рассмотрения уравнений движения (4), если принять во внимание, что при
обращении движения и dt меняет знак на противоположный.
Закон взаимности
В моих акустических исследованиях**) я доказал закон взаимности, который
в своих лекциях обычно легко распространял на малые колебания любой
колеблющейся механической системы около положения устойчивого равновесия.
Но этот закон имеет еще большую общность и остается в силе для любой
движущейся системы, которая подчиняется закону наименьшего действия и
движется обратимым способом.
*) Я к о б и, Лекции по динамике, лекция XX.
**)Theorie der Luftschwingungen in R6hren mit offenen Enden (Теория
колебаний воздуха в трубах с открытыми концами). Borchardt-Crelle Journ.
f. Math., т. 57, стр. 27-30, также Н. Helmholtz, Wissenschaftliche
Abhandlungen, т. 1, стр. 332-335.
456
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
Пусть изменение первоначального движения состоит в том, что в момент
времени t0 все начальные положения остаются без изменения, а один из
импульсов увеличивается на d%x. Пусть вследствие этого координата р2 в
момент времени tx получает приращение dp2. Тогда, если в обращенном
движении в положении, соответствующем значениям р, координат, изменить
импульс s2 настолько же, насколько раньше был изменен импульс §1( то по
истечении времени t = tx-10 координата рх получит такое же приращение,
как в первом случае координата р2.
Так как все dt и dp, должны быть равны нулю, то мы имеем
(6S)
Из величин d$t только d§x должна быть отлична от нуля. Для краткости
введем такое обозначение :
(r) У /701
Эрj dpi • ;
Согласно уравнениям (61) величины auj равны величинам aJtl. Обозначим
через D(o) определитель величин auj. Если он не равен тождественно нулю,
то из уравнений (69) при сделанном ограничении следует
j Э 1П D (о) mi \
dp' = ^to^T~dh' (71)
Если мы, наоборот, потребуем, чтобы все dph а также и все dsh за
исключением ds2, равнялись нулю, то мы получим для прямого движения,
принимая во внимание соотношение (70), соответствующее уравнение
Э In D (- а)
Э2.
Для обращенного движения знаки импульсов, а также и знаки величин
отменяются на обратные, и для обращенного движения мы получаем
* Э In D (<т) " /чл\
оиЪ2
Из уравнений (71) и (72) следует равенство
dp2: d$i = dp! : ds2,
которым доказывается высказанный выше закон.
Что касается исключительного случая, когда определитель D(o) равен
тождественно нулю, то в этом случае приращения dpj не были бы непременно
равны нулю, хотя бы и все без исключения равнялись нулю. Движение системы
должно было бы быть вполне определено и тем самым должны были бы быть
однозначно определены все значения по истечении времени t, если бы были
даны все начальные положения р, и начальные скорости для начала
промежутка времени t. Поэтому упомянутый исключительный случай мог бы
иметь место только при том условии, что ?},- не определяются полностью
значениями величин что исключено замечаниями, сделанными в конце § 1.
Следовательно,, нет надобности рассматривать этот исключительный случай.
Предположенные здесь внезапные изменения значений §,¦ и s" при которых
сами координаты не испытывают изменения значений, могли бы быть вызваны
механически тем, что мы заставили бы силы Р, действовать в тече-
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
457
ние очень малого времени, но весьма интенсивно. При этом можно
предположить, что скорости изменяются так, что даже наибольшая
достигнутая скорость не будет иметь достаточно времени, чтобы заметно
изменить положение. При таком допущении из уравнения (1) следует
Так как Р, в принятых там обозначениях есть сила, с которой движущаяся
система действует на внешние объекты, то -Р, есть внешняя
противодействующая сила, которая необходима для совершения требуемого
изменения движения.
Мы будем такое действие сил называть по примеру У. Томсона ударом в
