Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 200

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 461 >> Следующая

ЭФ
частная производная по времени-^- получается, если искать изменение
функции Ф, которому она подвергается при продолжении действительного
движения на промежуток времени dt. При этом р; возрастает на q, dt; с
другой стороны, уравнение (2) показывает, что упомянутая вариация Ф
равняется конечному значению Н ¦ dt. Таким образом,
или на основании уравнений (59) и (18)
ЭФ "
-ы=Е-
Из уравнений (59) вытекают следующие соотношения между величинами Sj, §,
и Е, если они представлены как функции переменных р" р,- и t:
dsi ЭSj dsi ЭSj ЭSi dSj
dpj ~ dpi ' dpj ~ dpi ' dpj ~~ Эр; '
ЭE _ _ _0si_ JiE __ d^
dpt ~ dt ' dpt ~ dt '
(61)
(62)
Если эти условия выполнены, то
Edt-S (St dpd + 2' (8/ dpi) = dФ (63)
i i
является полным дифференциалом функции переменных ph и t.
Соотношения между Е, st и §,¦
Впрочем, величины Е, s, и входящие в уравнение (63), если они должны
соответствовать энергии и импульсам в движении системы, возможном при
отсутствии внешних сил, не будут вполне независимы одна от другой. В
самом деле, уравнения движения системы, как уже показал Гамильтон, могут
быть представлены системой уравнений
= const. (64)
Так как §,¦ суть функции величин ph t и ph то отсюда, вообще говоря, р,
могут быть определены как функции времени t и величин р, и g" играющих
роль постоянных интеграции; этим задается положение системы для любого
последующего момента. Если в случае консервативной системы полученные
таким путем значения р, подставить в выражение для Е, то Е обратится в
функцию переменных р; и которая тогда уже не может зависеть от времени.
Возвращаясь к уравнениям (59), найдем
ЭФ "Л ЭФ 'i "Эt ~ |Р' ' Эр,"] ;
(65)
454
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
это значит, что для функции Ф должно иметь место дифференциальное
уравнение первого порядка между ее частными производными и , причем
коэффициенты в этом уравнении зависят только от р,.
Точно так же мы можем проследить и обратный путь системы от некоторого
конечного положения, причем мы значения р, и s, должны рассматривать как
постоянные. Тогда уравнения
st - const
дают величины р, в функции t и постоянных значений и р;. Если подставить
эти выражения для р, в выражение функции Е, последняя оказывается
представленной как функция s, и р, при полном исключении /. Отсюда
следует, что для функции Ф должно существовать второе дифференциальное
уравнение
(66>
ЭФ ЭФ , .
между частными производными и , коэффициенты которого зависят только от
pt.
Оба эти уравнения у Гамильтона носят более определенный характер, ибо он
рассматривает обе составные части кинетического потенциала как заранее
данные и притом в старой, более узкой форме, тогда как мы здесь
разыскиваем лишь самый вид тех движений, которые соответствуют
одновременно и принципу сохранения энергии, и принципу наименьшего
действия.
К этому нужно еще добавить, что каждая пара соответствующих s, и должна
представлять собою значения одной и той же функции в начале и в конце
промежутка времени /. Поэтому, если мы применим дифференциальное
уравнение (63) к весьма малым промежуткам времени t, то для
действительного движения следует положить
Pi - $i = 4tt, (67)
причем эти <7, будут тем больше приближаться к значениям соответствующих
скоростей, чем меньше /. Тогда разность st -§( с убыванием t должна
стремиться к нулю. Если дифференциальное уравнение (63) и эти добавочные
условия удовлетворены, то удовлетворены и условия вариационной задачи.
Наконец, остается только оставить р,- постоянными, а р( изменять так, как
они изменяются при действительном движении в течение элемента времени dt,
т. е. положить dy{ = 0 и dpt = q(dt.
Таким путем получаем из уравнения (63)
d<P = [E-2(siqi)]dt, (63')
или
Ф = SdtlE-Zfrqd], (68)
о
где Е, Si и <7, под знаком интеграла получают значения, которые они имеют
в действительности в момент t, отсчитанный от начала соответствующего
движения. Это - прежнее представление функции Ф. Что это
выражение
для Ф, будучи определено для действительно пройденного
системой пути,
должно удовлетворять условию минимума, -это показывает уравнение (63'). В
самом деле, если мы представим себе путь системы из положения, которое у
нас обозначается индексом 0, в положение, обозначенное индексом 2, разт
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
455
деленным на две части промежуточным переменным положением, которое мы
назовем 1, то согласно уравнению (68)
Ф0,2 = фол + Ф1;2.
Если мы теперь будем варьировать координаты промежуточного положения, то
на основании уравнения (63') будем иметь
6Ф0Л = - (ЗФ12 = - 2 (Si ¦ dpi),
а следовательно :
<5Фо,2 = 0.
Это можно распространить, как легко видеть, на любое деление пути, на
любое число путей; отсюда следует, что интеграл Ф0,2 не меняется, если
происходят какие-либо небольшие изменения промежуточных положений.
Теорема о минимуме зависит от соблюдения уравнения (63'), так же как и
само это уравнение зависит от выполнения условия минимума, и это имеет
место как для обобщенного вида функции Н, так и для первоначального,
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed