Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
производит электрический ток, то тот же самый ток вызовет охлаждение того
же места цепи (если отвлечься от нагревания вследствие электрического
сопротивления).
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
451
Электрохимия. Если нагревание постоянного гальванического элемента
увеличивает электродвижущую силу, то прохождение тока в том же элементе
вызовет переход теплоты в скрытое состояние*).
Вышеприведенные формулы, однако, указывают не только знак
соответствующего изменения, но одновременно дают указание и на
количества, о которых идет речь.
С. Зависимости между силами и координатами Наконец, из уравнения (48)
следует:
Э Pi _ 9 = _± ( Э2Я_____сШ) ^ J_ _d_ (bPt_ _ dfy\
9 pj dpi dt [ dqi dpj dqj dpi J 2 dt \ dqj dqi) ' ' '
Для случая покоя, когда правая часть обращается в нуль, отсюда получается
общий закон консервативных сил :
9Pi _ 9Pj
d Pj dpi
(57)
Но то же самое условие выполняется, если временами движение происходит
так, что правая часть уравнения (56) оказывается равной нулю. Тут мы
также можем применить закон (57), чтобы образовать для сил нагретых тел
или соответственно моноциклических систем силовую функцию, если только во
время движения одна из функций р в уравнении (33) остается постоянной.
Если мы при этом пренебрежем живой силой L упорядоченных движений, то
согласно уравнению (35) мы будем просто иметь
Р,= - дН
9Pi '
т. е. наше уравнение (57) удовлетворяется. Но с этим случаем мы
встречаемся почти всегда, когда занимаемся механикой земных тел, более
или менее нагретых. Несмотря на то, что тела внутри одержимы сильным
движением, мы можем, например, для теории их упругих действий на
основании доказанного здесь закона образовать силовые функции
молекулярных сил и применять их так, как если бы их состояние равновесия
было устойчивым в абсолютном покое.
Я хочу здесь еще заметить, что для того чтобы доказать, что существует
кинетический потенциал и что силы Pt могут быть по способу, указанному
Лагранжем, выражены через его производные и что уравнения движения могут
быть сведены к принципу наименьшего действия, оказывается достаточно
соотношений взаимности для сил, выражаемых уравнениями :
&Pt 3 Pj (4g)
эр.
dq'j 9q'i '
i- -I- = 2 d f dP} ) 150)
9qj dqi dt[ dq\ )' '
_m_BPL = ±±(9Pt__BPL) /561
dpj 9Pi 2 dt{ dqj dqi ) '
*) См. мои статьи по термодинамике химических явлений. Sitzungsberichte
der Berliner Akademie, 1882, 2 февраля, стр. 24-26 ; 1882, 27 июня, стр.
825-835, а также Н. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig,
1895, т. 2, стр. 958-979.
29*
(в связи с тем, что Р, являются линейными функциями q'h т. е.
(58)
и с ранее данными определениями :
(1)
(48))
Итак, перечисленные здесь зависимости между силами полностью
характеризуют те движения, к которым применим принцип наименьшего
действия.
Доказательство этого предложения для случая, когда имеется не более трех
координат р" может быть дано непосредственно методами современного
математического анализа. Для этого нужно, однако, воспользоваться
предложениями из области теории потенциальных функций в пространстве трех
измерений. Для перехода к большему числу координат потребуются
соответствующие предложения для большего числа координат. Их можно
получить в той мере, в какой они нужны для нашего доказательства. Но так
как это вопрос, имеющий самостоятельный интерес, то мне кажется
нецелесообразным решать его здесь попутно, и я поэтому предпочитаю дать
указанное доказательство при другом, более удобном случае.
Другие общие свойства движений, происходящих с соблюдением принципа
наименьшего действия, будут изложены в следующих параграфах.
§ 5. Обобщение дифференциального уравнения Гамильтона
Гамильтон показал, как представить образованную им при несколько более
узких предположениях функцию Ф,
в виде функции времени t = -10 и значений координат, соответствующих
моментам ?х и t0. Мы обозначим координаты и импульсы для момента
соответственно через и sh а для момента t0 - через р;- и §,.
Предполагается, что в течение времени ?х -10 изменения координат р,
происходят согласно законам движения. Тогда, очевидно, интеграл,
обозначенный через Ф, может быть вычислен как функция переменных р" р, и
t; в этом случае мы имеем
Это преобразование может быть выполнено также и при более широких
допущениях, сделанных нами в § 1*). Для цели, которую мы ставим здесь
Ф = $(F~L)dt,
(59)
или
йФ = Edt- 2' (Si dp^ + 2 (§, dpi).
(60)
*) Как это заметил уже К. Якоби в своих "лекциях по динамике", лекция
XIX.
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 453
перед собой, будет достаточно сделать это в предположении, что силы Р,
равны нулю. В остальном функция Н может быть любой функцией р, и qh лишь
бы она удовлетворяла упомянутым выше условиям непрерывности.
Две первые системы уравнений (59), как известно, получаются при
выполнении интегрирования по частям, с помощью которого при варьировании
функции Ф переходят от dq, к 6р,. Входящая в третье из уравнений (59)
