Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 197

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 191 192 193 194 195 196 < 197 > 198 199 200 201 202 203 .. 461 >> Следующая

бы бесконечно велик. Поэтому значение Е при неограниченно возрастающем
</, должно быть непременно положительным. Я постарался показать *) при
рассмотрении электродинамической теории В. Вебера, какие недопустимые
следствия вытекают из противоположного допущения.
Из уравнения (18) сначала просто получается, что если величина Н может
быть представлена как сумма однородных целых функций любой степени ¦от
переменных qf различной величины, то то же самое имеет место и для
функции Е. Обозначим однородную функцию п-й степени от qj через Рп,
*) Borchardt-Crelle Journ. f. Math., т. 72, стр. 85; §§ 4-7; т. 75, стр.
35-62, а также Н. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, 1895, т. 1,
стр. 578-611 и 647-679.
446
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
тогда
н = 2?п,
(39)
П
Е = 2('~п)Рп,
(40)
П
ИЛИ
Е = Р0 - Р2 - 2Р3 - . .
Члены первой степени Рг в выражении для Е отпадают, Р0 соответствует не
зависящей от движения потенциальной энергии, которую мы выше обозначили
через F, Р2 соответствует (- L). Члены высшего порядка появляются в
задачах механики весомых тел только в случаях, видоизмененных путем
исключения некоторых координат.
Впрочем, поставленная задача может быть решена также и в случае, когда Е
- совершенно произвольная функция скоростей, удовлетворяющая
ЭЕ
только поставленному выше условию, что все в соответствии с уравнением
(38) приближаются к нулевому значению, когда qt делаются равными нулю.
Для нашей цели достаточно будет сохранить вышеуказанное требование,
согласно которому коэффициенты в системе уравнений (38) должны быть
конечными, хотя вообще допустимы также и случаи, когда эти коэффициенты
являются бесконечными, но интегрируемыми.
Для решения нашей задачи мы в выражениях для Е и Н сделаем подстановку
понимая под х переменный множитель, при изменении которого меняются,
правда, значения величин qh но сохраняются неизменными их отношения.
Выражения для Н и Е, получаемые после этой подстановки, я обозначаю через
Н' и Е'. Тогда
Так как согласно условию, введенному при составлении уравнения (38),
Это означает, что согласно нашим допущениям для весьма малых значений х
величина Е' сама должна быть пропорциональной х (если не высшей степени
х). С другой стороны, мы имеем
(41)
(42}
дН'
Эх
следовательно,
(44)
а отсюда
ЭЕ' Э2Н'
Эх ~ Х Эх2
(45)
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
447
Если для дифференциального уравнения (44)
Е' = Н'-х^- (46)
существует еще второе решение, которое мы обозначим через Н", то
О = н,-Н"-х-?г(Н'-Н"),
т. е.
1п(Я'-Я") = 1пх + 1пС, или Н'-Н" = х-С,
где С может быть функцией q,. Но эта последняя может быть только
однородной функцией первой степени, если Я' - Н" должна быть представлена
так же, как функция qh свободная от х.
Теперь остается только найти частный интеграл уравнения (44).
Мы получим этот интеграл, если сначала напишем уравнение (44) для х = 0 в
следующем виде :
?"= Д>
и вычтем последнее уравнение из уравнения (44):
Е' - Е0 = (Я' - Я0) - х А (я' - Я0).
По разделении на х2 получаем отсюда
В силу соображений, высказанных в связи с уравнением (43), величина,
стоящая в левой части последнего уравнения, будет конечной и при х = 0 ;
интегрируя его в пределах от х = 0 до х = 1, найдем
1
Я'-Я0 = -J^r^dx + Я,, (47)
о
где постоянная интегрирования Hv как уже было отмечено, может быть любой
однородной функцией первой степени от переменных qt.
Следовательно, Е однсзначно выражается при помощи уравнения (18) через Я.
В то же время при получении Я из Е остается неопределенной добавочная
функция Hv которая соответствует "скрытым" движениям. Вопрос о том,
необходимы ли подобные члены первой степени, в отдельных специальных
задачах решается большей частью на основании условий, при которых
движение может протекать в обратном порядке.
Если, стало быть, при решении соответствующей задачи известно, какие
физические величины в выражении для Е должны рассматриваться как
координаты и какие - как скорости, то поставленная здесь задача может
быть, как правило, решена. Но встречаются также и такие случаи, в которых
ответ на указанный вопрос представляется неопределенным.
§ 4. Общие свойства сил движущихся систем
Известно, что если покоящаяся система действует на внешние тела силами,
подчиняющимися закону сохранения энергии, то эти силы должны
удовлетворять некоторым соотношениям, которые могут быть выражены
448
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
уравнениями
8Pj _ ЭPj_ dpj ~ dpi '
и что если эти уравнения имеют место, то может быть найдено значение
потенциальной энергии.
Для движущихся систем, которые удовлетворяют закону минимума кинетической
энергии, точно так же можно составить подобные соотношения, получаемые
непосредственно из лагранжевых выражений для сил. При этом последние
должны рассматриваться не только как функции координат pit как это
делается для покоящихся систем, а также как функции .скоростей qi и
ускорений
• (48)
Уравнение (4)
р. = _ (tm)L + A(J*L) (4)
^ ЭPi ^ dt [ дщ )
Предыдущая << 1 .. 191 192 193 194 195 196 < 197 > 198 199 200 201 202 203 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed