Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Термодинамика. Законы обратимых тепловых процессов при выборе
соответствующих координат могут быть представлены **) в следующей форме:
Здесь % - функция координат pi и абсолютной температуры & (я называю эту
функцию "свободной энергией"), L -¦ живая сила видимых движений тяжелых
масс, следовательно, однородная функция второй степени величин Pi и qh не
зависящая от & ; dQ - количество тепла, поступающее в тело извне за
элемент времени dt, т. е. работа, которую совершают внешние силы,
действие которых состоит только в увеличении теплового движения.
*) Borchardt-Crelle Journ. f. Math., т. 72, стр. 86 и далее, и стр. 125,
также Н. Н е 1 т-h ol tz, Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, 18Q5,
т. 1, стр. 578 и 623.
**) Borchardt-Crelle Journ. f. Math., т. 97, стр. 112-117, также H.
Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, т. 3, стр. 120-127. Живая сила
L видимых движений добавлена здесь, чтобы обеспечить желательную полноту
и общность.
(28)
(29)
(30)
]
Функция h здесь выпадает, так как
(31)
Е = %-&
(32)
444
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
К той же самой форме при измененных переменных мы приходим, полагая
93 _ _ о
ЯА ^ '
где S - некоторая функция от s и далее, полагая
QS
ds
Г = п,
ЭЗ
д&
(33)
rj ¦ s.
Если величины Hus выразить как функции р, и р[см. Abhandlungen, т. 1,
уравнение (ld)]*), то эти уравнения могут быть написаны следующим образом
[155j :
f = = (34>
р'=-ТР7<Н-1)-*Ш> (35)
Е = Н~Ч-(tm) +L. (36)
Эти уравнения подобно уравнениям (31) и (32) имеют такую же форму (см. §
3), что и уравнения движения моноциклических систем, кинетический
потенциал которых есть Н - L и для которых ц обозначает скорость, s -
импульс в моноциклическом движении.
Если обозначить через Р(") силу, действующую в направлении скорости г],
то мы будем иметь
Рм • У • dt = dQ. (37)
Аналогия с выражениями Лагранжа, следовательно, здесь сохраняется, каким
бы образом ни зависела энтропия S от импульса s моноциклического
движения. Возможность соединения одинаково нагретых систем тел в одну
систему и кинетическая теория газов заставляют в этом случае' принять
& - s ¦ q,
Поэтому следовало бы для каждой данной системы тел считать, что
температура пропорциональна живой силе теплового движения, как это до
меня, по-видимому, пытались сделать Клаузиус и Больцман **). Последующие
применения этого примера не зависят от вопроса о соотношении между
функциями S и s.
*) См. Н. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, т. 3, стр. 125.
**) В своем докладе Берлинской академии (Sitzungsberichte, 8 декабря 1884
г.) я высказал это предложение в более определенной форме, но я тогда
признал, что для обеспечения одного шага в доказательстве требовалось
дальнейшее ограничивающее условие, физическое значение которого я не могу
интерпретировать так, как это, я надеюсь, будет сделано впоследствии.
Поэтому я должен признать возражения, сделанные Больцманом (Wiener
Sitzungsberichte, серия 2, т. 92, 8 октября 1885 г.) против этого
предложения, оправданными в этом отношении.
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 445
^_________________________________________________
Тепловое движение, по-видимому, следует рассматривать как наиболее важный
пример исключения координат рк; поэтому Н может быть сложной функцией $
или i?. Однако мои исследования, касающиеся сложных моноциклических
систем, показали, что и значительно более сложные виды движений, гораздо
более сходные с внутренними молекулярными движениями, также могут вести к
таким же законам.
§ 3. Вывод кинетического потенциала из выражения энергии
При физических исследованиях часто бывает легче и надежнее сначала
выяснить, каковы обстоятельства, влияющие на запас энергии в какой-либо
системе тел, а затем определить значение функции Е, нежели искать общие
законы изменений и из них определять кинетический потенциал. Поэтому мы
переходим теперь к вопросу о том, каким образом кинетический потенциал
может быть определен из выражения полной энергии.
Предположим, что величина Е найдена как функция р, и qt. Форма этой
функции находится из уравнения (18):
? = н-Д;("4!)'
Отсюда следует
ЭЕ -v> ( ЭгН \ /оо\
I9, эйэ?/)' <38)
Для составления уравнений движения необходимо варьировать функцию Ф,
заданную уравнением (2). При зтом нужно предполагать, что первые и вторые
производные от Н остаются конечными на всем пути, пройденном системой.
Затем из уравнения (38) следует, что если все </, суть нули, то в
нуль обращаются также и все .
О других ограничениях вида функции Е, которые определяются ее физическим
значением, упомянем здесь только коротко:
1. Входящие в уравнения координаты свободной системы должны определять
только относительное положение системы, ибо повсюду в пространстве при
одинаковом положении одних масс относительно других явление движения
должно протекать совершенно одинаково.
2. Значение функции Е для конечных расстояний между массами и конечных
скоростей должно иметь конечный минимум, иначе запас работы в системе был
