Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
постоянства энергии. Можно к системе уравнений (4) сделать разнообразные
добавления, которые во всяком случае не мешают выводу уравнения (19), но
устраняют возможность облечения задачи в вариационную форму. Например,
прибавим член вида <р • qj к тому из уравнений (4), которое содержит
индекс г, и член вида - у ¦ qt-к уравнению с индексом /, где 9о есть
какая-то функция координат. Если теперь для вывода уравнения энергии
первое из названных уравнений помножить на qh а второе - на qj, то
добавочные члены взаимно уничтожаются и постоянство энергии по-прежнему
остается. Однако соответствующую вариацию
можно считать полной вариацией функции переменных р, и qt только в том
случае, когда функция <р зависит только от переменных qtpj и ^р(.
Если бы функция 9о, взятая в добавочных членах, не зависела от скоростей,
то соответствующее движение не было бы обратимым. Но мы могли бы взять за
9? некоторую линейную функцию скоростей; тогда все движение могло бы
протекать и в обратном направлении.
Так как такие члены мы можем вставить в любую выбранную пару уравнений
системы (4), то можно представить себе весьма много разнообразных
случаев, в которых оказывается справедливым закон постоянства энергии, но
не принцип наименьшего действия.
Отсюда следует, что последний принцип там, где он имеет место, выражает
некоторый особый характер консервативных сил, который еще не вытекает из
определения этих сил как консервативных.
В дальнейшем нам придется неоднократно приводить примеры, которые сделают
наглядным значение полученных предложений; поэтому я позволю себе уже
здесь описать несколько случаев, на которые я мог бы коротко ссылаться не
только в связи с уже изложенным в этом и предыдущем параграфах, но также
и при дальнейшем изложении.
Пример 1. Волчок. Пусть волчок есть тело вращения в кардановом подвесе;
внешнее кольцо а может вращаться вокруг вертикальной оси ; угол поворота
этого кольца, отсчитанный в некоторой определенной вертикальной
плоскости, мы назовем а ; второе кольцо, Ъ, может вращаться относительно
первого вокруг горизонтальной оси, причем угол между плоско-
Пояснительные примеры
442
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
стями колец а и b я обозначу через /5. Пусть ось вращения волчка
расположена в кольце b перпендикулярно к оси относительного вращения
колец а и Ь. Угол между определенной меридиональной плоскостью волчка и
плоскостью кольца b пусть будет у ; момент инерции волчка относительно
его оси вращения обозначим через 91, момент инерции относительно одной из
его экваториальных осей - через 95; моментами инерции колец пренебрегаем.
Тогда живая сила волчка выразится следующим образом :
tf=-L.
Отсюда получаются обобщенные силы А, В и С, стремящиеся увеличить углы а,
/9 и у :
Сила А есть попросту вращающий момент, который стремится вращать кольцо
а; такое же значение имеет сила В по отношению к кольцу Ь. Что касается
силы С, то она стремится вращать волчок относительно кольца Ь, поэтому
она выражает взаимодействие между кольцом b и волчком.
Если сила С отсутствует, то из уравнения (23) имеем
Первый, постоянный, член в формуле для Н' может быть опущен, так как в
конечном счете он входит только в произвольную постоянную функции Е;
последний член, линейный, отсутствует в выражении для L.
Пример 2. Электродинамическое действие замкнутой цепи тока по
потенциальному закону *).
Мы будем понимать под 1} силу тока в /-й цепи, а под pt - координаты
весомых масс, живой силой которых мы пренебрегаем. Функция Н имеет форму
A = -w[^cos^{% + cos^w) + ^sin^w]'
В = - 2t sin/9 + cos/9 ^ + 95 sin/9 cos/9 (^}2-95-^-,
(21)
(22)
(23)
(24)
Отсюда получается значение Н' согласно уравнению (7):
(25)
Значения сил Ли В получаются из уравнений (21), (22) и (24):
А - -¦ (с cos /9 - 95 sin2 /9 ,
В = с sin/9-^- + 95 sin/? cos/9 95.
(26)
(27)
*) См. мою работу в Borchardt-Crelle Journ. f. Math., т. 72, стр. 70-72,
также H. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, 1895, т. 1,
стр. 560-564.
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
443
тде QJtk суть функции /?,, а каждый из индексов j и к принимает
последовательно значения, соответствующие всем электрическим цепям.
Индуцированные электромагнитные силы, которые я буду обозначать через
таковы:
Если действует также постоянный магнит, положение которого определяется
координатой р0, то в выражение для Н входит еще ряд линейных членов,
которые я обозначу через h и которые имеют вид
где Rj - функции координат pt и р0. Определение сил происходит по тому же
самому методу. Полная электродинамическая энергия выражается так:
Входящая сюда величина Е = - Н, как и живая сила весомых масс для
замкнутых цепей, - существенно положительная величина. Я показал это в
моих работах по электродинамике *). Кроме того, Е есть однородная функция
второй степени от /" а потому здесь можно повторить соображения,
Э2Н
высказанные в конце § 1, по которым определитель величин не может
быть равен тождественно нулю.
