Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
имеющий центр в С, хотя в последнем случае каждое из интегрирований
требует квадратуры круга. Итак, представляется правдоподобным, что и в
других случаях, когда ни одно из интегрирований не удается, уравнению
удовлетворяют алгебраические кривые ; но метода для их нахождения до сих
пор не имеется.
9. Пусть на тело М постоянно давит по направлению МС к неподвижной
точке сила, пропорциональная какой-нибудь функции от расстояния МС.
Положим, как и раньше, СР = х, РМ = у и dy - pdx; пусть СМ = = У х2 У2 =
t и пусть Т - функция от t, выражающая центростремительную силу. Разложим
эту силу на боковые по MQ и МР ; сила, влекущая
по направлению MQ, будет равна , а сила по МР будет равна ~~ ; отсюда
получается ускорение
потому что
xdx У dy = tdt]
отсюда
v = А - § Tdt.
Поэтому минимумом должно быть выражение
J dx У(1 + ра) (A -- J T dt) .
Согласно правилу, продифференцируем величину ]/(1 + р2)(А - $Tdi) получим
Т dt УГ+pi" Р dp fA~~fT"di
2fA~lTdt 1П
Так как
t , будем иметь :
N = -ГlyJ'I+'fX 2У~А-\т1й
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ БРОШЕННЫХ ТЕЛ
37
р = рУА ~^Tdt .
Vi + р2
составляем уравнение
Ndx = dP,
которое дает
TydxVl + p2 dp] А - $ Т dt рТ dt_
2 t У А - I ТЖ (1 + р2) У\ + pv 2У(Т+~р2)(Д -\Tdt)
а это уравнение, будучи упрощено, перейдет в уравнение
Т (xdy - у dx) _ dp 2i(A^ffdi) ~ Т + р2 '
10. Хотя это уравнение содержит четыре различные буквы, однако, при
должной умелости его можно проинтегрировать. Действительно, так как
у dy + xdx - tdt = ру dx + xdx ,
то будем иметь :
. tdt
dX = ;------
х + РУ
И
dy = P"lt ,
У Х + РУ '
а подстановка этих значений в уравнение даст
(рх - у) Т dt dp
2 (х + ру) (A- IT dt) 1 + р2
или
Tdt _ dp (х + ру)
2 (]^r-jT~dt) ~ (1 + р2) (рх - у)
Оба эти выражения могут быть проинтегрированы посредством логарифмов ;
действительно,
г Tdt 1
а
распадается на
так что имеем
2 (A-]Tdt) 2
Г <1р(х + РУ)
J (1 + р2) (рх - у)
/(Л - ГТЛ),
Г xdp _ г
J р X - У J 1
pjtp _ , рх
2' Тп
рх -у ,
] A-J Tdt | 1 •
это уравнение показывает, что скорость тела в точке М, равная У Л - j
Tdt, обратно пропорциональна длине перпендикуляра, опущенного из С на
касательную, что составляет отличительное свойство такого движения.
11. Эта же задача удобнее решается, если принять за вторую переменную
прямую СМ. Но изложенный выше метод и не требует, чтобы обе переменные
были прямоугольными координатами, лишь бы только это были такие две
величины, определив которые мы тем самым определим точку кривой. По этой
причине нельзя было бы принять за эти две переменные расстояние СМ и
перпендикуляр, опущенный из С на касательную, потому
38
Л.ЭЙЛЕР
что, хотя бы и были даны расстояние от центра и перпендикуляр к
касательной, этим, однако, не определяется место точки на кривой. Но
ничто не мешает принять за две переменные расстояние СМ и дугу ВР (рис.
3) окружности, описанной из центра С; ибо если даны дуга ВР и расстояние
СМ, то точка кривой М так же определена, как и с помощью прямоугольных
координат. Это замечание делает применимость метода гораздо более
широкой, чем могло бы казаться без него.
12. Итак, пусть расстояние тела от центра МС = х, а сила, которая
действует на тело по направлению к центру С, равна X и является некоторой
функцией от х. Из центра С опишем произвольно выбранным радиусом ВС = с
окружность, дуга которой ВР займет место второй переменной у, так что Рр
= dy = р dx. Вследствие действия силы имеем
dv = -Xdx,
откуда
v = А - J X dx.
Из центра С радиусом СМ - х опишем малую дугу Мп ; тогда будет mn = dx и
СР:Рр = СМ : Мп,
откуда получается
Мп =
рх dx
и элемент пути
Мт = dx / 1 -\-
V
С2
Поэтому минимумом должно быть такое выражение
^dx^(A-^Xdx)(l+P^-) ,
из которого получается дифференциальное значение
1 d рх2 Уа - I Xdx dX с Тр + Р2 X2 . которое, будучи согласно правилу
приравнено нулю, даст уравнение
р х2 У л - j X dx
или
откуда получается Р
или
Ус =
с }с2 + р2 X2 Сс4 + Сс2 р2 х2 = (А - ( X dx) р2х4,
с2 Ус с2 Ус
у (А
• J X dx) х4 - С с2 х1
dy
х у (А - 5 X dx) х2 - Сс2 с2 dx Ус
х У (А - ) X dx) х2 - Сс2 Это же самое уравнение находится и прямым
методом.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ БРОШЕННЫХ ТЕЛ
39
13. Итак, на этих случаях ясно видно согласие установленного здесь
принципа с истиной ; но может еще оставаться сомнение, будет ли иметь
место это согласие также и в более сложных случаях. Поэтому надо будет
внимательно исследовать, насколько широкий смысл имеет этот принцип,
чтобы не придавать ему большего значения, чем позволяет его сущность.
Чтобы развить это, нужно разделить все случаи движения брошенных тел на
два рода. Для первого из них скорость, которую тело имеет в каждом месте,
зависит только от его положения, так что если оно будет возвращаться к
одному и тому же положению, то будет приобретать снова ту же самую
скорость; так бывает, если тело влекут к одному или нескольким
неподвижным центрам силы, пропорциональные каким-нибудь функциям
расстояний от этих центров. Ко второму роду я отношу те случаи движения
