Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
dV
мы предположим, что производная зависит только от времени или что новая
функция ? не содержит явно времени, величина ?"fc тоже не будет
332
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
и формула (12) превратится в
8(edt)-d{edt) = 0;
так как
так как
то этот результат приводит к уравнению
d&-~dt = 0. at
(19)
Принимая во внимание предположение относительно V, получим
d0 = О,
что является дифференциалом живых сил.
5. Предполагая вариации дт абсолютно произвольными и интегрируя
формулу (7) по времени, получим
так как по принципам вариационного исчисления символ 5 можно выносить за
знак интеграла, то
Заменяя 5w(/t) ее значением <5х(r) - <5х(^+1) М и написав Т вместо суммы
Правая часть формулы (21) заключает невыполнимое интегрирование, так как
мы предположили, что дифференциальная функция V dt не интегрируема, а
следовательно, не интегрируема и вариация б(У dt).
Предположение, что V dt есть полный дифференциал, возвратит нас
тождественно к формуле (7) и к уравнениям (9) и не даст никакого
результата. Действительно, полагая
i=m к=п- 1 с
v Л -f 2 Sf,k = д \ V dt + const; (21)
i=l k=0
v 6t + 2 2 st,k d<°(P = s \ Vdt + const.
2 2 a (r) вместо V - T, мы получим
(21)
V dt - dU,
получим
t _ UAJ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ
333
и уравнение (7) превратится в
ddU = ddU.
Кроме того, если бы функция V состояла из двух частей, Р + Q', причем Q'
была бы полной производной'по времени, все, что зависит от этой функции,
исчезло бы из формулы (7) и уравнений (9). В этом случае, принимая за
неизвестные
t dU
St* Ж?
вместо iitk, мы пришли бы к уравнениям (14).
Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего
действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только
как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым
следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории
maxima и minima.
Однако, принимая во внимание известность этого принципа и в особенности
манеру, в которой он рассматривается, мы войдем в некоторые относящиеся к
нему детали. Предупреждаем при этом читателя, что, говоря о принципе
динамики, мы будем иметь в виду более общие формулы, относящиеся к
интересующей нас проблеме изопериметров.
В динамике отправляются либо от формулы (9) или (14), либо, что является
более простым, от уравнений, выражающих принцип потерянных сил,
видоизменением которого являются формулы (9) и (14). Какова бы ни была
точка отправления, мы придем после более или менее простых
преобразований к формуле (7) и, следовательно, к нашему
интегралу по времени (21).
Вычисляя этот последний между данными пределами и выбирая такие условия,
при которых все внеинтегральные члены исчезнут, получим
d$Vdt'=0. (22)
Этот результат приводит к заключению, что интеграл
§Vdt (23)
достигает минимума или максимума, что и является принципом наименьшего
действия.
На самом деле вариация интеграла может обращаться в нуль и в том случае,
когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но
геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме или максимуме, без
сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом, следовать их
примеру.
Рассматриваемый с прежней точки зрения принцип наименьшего действия
кажется довольно значительной теоремой. Если его доказывать, исходя из
формул (9) или (14), или из формулы, выражающей равновесие потерянных
сил, то приходим к результату
<5 j'Vdt = 0. (22)
Но если отправляться, как это сделали мы, от формулы (7) или, что то же
самое, от уравнений (21), то уравнение
d$Vdt = 0, (22)
будучи заключено в том, которое служило точкой отправления, не
представляет никакой теоремы.
334
М. В. ОСТРОГРАДСКИИ
Мы не останавливались бы более на принципе наименьшего действия, если бы
геометры, занимавшиеся этим принципом, остановились на уравнении (22). Но
они пошли дальше. Они комбинировали это уравнение вместе с дифференциалом
в смысле б выражения закона живых сил, что приводит к нашему интегралу
(20).
С помощью этой комбинации можно заменить в выражении
$Vdt, (23)
которое должно достигать минимума, функцию V на величину Т, которая
обозначает в динамике живую силу системы*). Если бы указанный способ
сведения минимума интеграла (23) к минимуму интеграла j Т dt не был
неудобным, как мы это покажем в следующем параграфе, то этот способ
позволял бы высказать принцип наименьшего действия в применении к частным
случаям с большей простотой и удобством. Это произошло бы потому, что
интеграл j" Т dt зависит только от кривых, описываемых точками системы, и
не зависит от действующих сил, приложенных к ним, - неоспоримое
преимущество перед интегралом (23), который зависит от сил, действующих
на систему.
Мы сейчас приведем в основном метод, употребляющийся геометрами после
Лагранжа для сведения минимума первого из двух интегралов
$ Vdt, jTdt к минимуму второго. Мы исключим вариацию
8\Vdt
из уравнения (21) с помощью формулы (20) живых сил. Умножая формулу
