Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
наименьшего действия был не только совершенно неизвестен Лейбницу, но что
он применил совершенно иной принцип, который согласуется с принципом
наименьшего действия только в очень небольшом числе случаев, в то время
как в бесконечном числе других случаев он явно противоположен этому
принципу. Кроме того, этот принцип Лейбница, как общий принцип, каким он
кажется, применяется только в очень немногих случаях и, может быть, даже
только в единственном, о котором мы говорили. Во всех других случаях его
совсем нельзя применить, потому что неизвестно, как следует измерять
сопротивление, и каким бы способом его ни измеряли, оно всегда будет
приводить к ¦большим ошибкам. Итак, отсюда следует, что Лейбниц никогда
не владел принципом наименьшего количества действия и что, напротив, он
владел совсем противоположным принципом, употребление которого, кроме
единственного случая, совсем невозможно или привело бы к ошибке. И не
очевидно также, что Лейбниц хотел применить свой принцип в каком-либо
другом случае.
Л. ЭЙЛЕР
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ БРОШЕННЫХ ТЕЛ
В НЕСОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ МЕТОДОМ МАКСИМУМОВ
И МИНИМУМОВ Н
1. Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или
минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые
описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет
место какое-то свойство максимума или минимума. Определить из принципов
метафизики a priori, каково именно это свойство, по-види-мому, не так
легко; но так как сами эти кривые можно определить при помощи прямого
метода, то отсюда, при должном внимании, можно будет заключить о том, чтб
в этих кривых является максимумом или минимумом. Подлежит рассмотрению
главным образом эффект, происходящий от действующих сил; и так как он
состоит в порожденном ими движении тела, то представляется сообразным с
истиной, что это самое движение, или, точнее, совокупность всех движений,
присущих брошенному телу, должна быть минимумом. Хотя может показаться,
что это заключение недостаточно обосновано, однако, если я покажу, что
оно согласуется с истиной, уже известной a priori, то оно приобретет
такой вес, что все сомнения, которые могли бы относительно него
возникнуть, совершенно исчезнут. Более того, когда его истинность будет
доказана, легче будет проникнуть в скрытые законы природы и конечные
причины и подкрепить это утверждение убедительнейшими соображениями.
2. Пусть масса брошенного тела равна М, а его обусловленная высотой
скорость при прохождении малого промежутка ds равна v; количество
движения в этом месте будет равно M\v [12]; будучи умножено на длину
самого промежутка ds, оно даст Mds]/v, совокупное движение тела на
промежутке ds. Теперь я утверждаю, что линия, описываемая телом, будет
такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же
пределами, у нее будет минимум j" Mds^v, или, так как М постоянное, j"
dsfv. Если же рассматривать искомую кривую так, как будто бы она была
дана, то можно из действующих сил определить скорость через величины,
относящиеся к кривой, и, следовательно, определить саму кривую методом
максимумов и минимумов. Впрочем, можно зто выражение, полученное из
количества движения, привести также и к живым силам; действительно,
положив время, в течение которого пробегается элемент ds, равным dt, так
как ds = dt \v, будем иметь
j"ds^jv ='^vdt,'
так что для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил,
находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей. Таким
образом, ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим
32
Л. ЭЙЛЕР
скоростям, ни те, кто - по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего
неприемлемого.
3. Итак, прежде всего, если мы положим, что никакие решительно силы не
действуют на тело, то и его скорость, которую я здесь только и принимаю
во внимание (ибо направление охватит сам метод максимумов и минимумов),
не претерпит никакого изменения, поэтому v будет величиной постоянной,
равной, например, Ъ. Отсюда, если тело, не подверженное действию никаких
сил, будет как-нибудь брошено, то оно опишет такую линию, для которой
будет наименьшим j ds \/Ъ или j ds - s. Следовательно, этот путь сам
будет наименьшим из всех, заключенных между теми же пределами, а значит,
прямолинейным, совершенно так, как требуют первые основания механики.
Этот случай я привел не потому, что я думал подтвердить им мой принцип:
тот же самый прямолинейный путь получился бы, какую бы я ни взял другую
функцию от v вместо скорости yv ; но, начиная с простейших случаев, легче
будет понять самый смысл указанного согласия.
4. Перехожу к случаю однородной тяжести, когда брошенное тело повсюду
испытывает действие ускоряющей силы, равной g, вниз, по направлениям,
нормальным к горизонтальной плоскости. Пусть AM (рис. 1) - кривая,
которую описывает тело при этих условиях; возьмем за ось вертикальную
прямую АР и положим абсциссу АР = х, ординату РМ = у и элемент кривой Мт
