Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
некоторыми соотношениями. Эти соотношения, уменьшая число неизвестных,
облегчают решение вопроса. Но в этом случае анализ, который привел нас в
предыдущем параграфе к уравнению (14), неприменим. Это происходит потому,
что последние соотношения между неизвестными устанавливают соотношения
между их вариациями, и мы не можем приравнивать коэффициенты при
вариациях, как мы делали это раньше, при переходе от уравнения (13) к
(14). Нужно сначала исключить все зависимые соотношения с помощью
уравнений условия или по методу неопределенных множителей.
Мы предоставляем читателю самому исследовать все упомянутые нами частные
случаи. Наиболее замечательным из них по своей простоте является тот, при
котором V содержит п-е производные только линейно.
4. Умножая уравнения (14), первое на dx)fc), второе на - й^,к и
складывая их, получим
d& йхр+ = О, (18)
т. е.
Но
dxik) ' d?i,k
( й& , (к) . d& n
? я +fe''Ч = 0•
1 = 1 к=-0 v '
из чего следует или, так как то
d0 = ~-dt (19)
d& _ dV
~W hf '
d0=dJfdt. (19)
Здесь функция V предполагается содержащей к-ю производную величин х.
Уравнения
d& dx\k
(,4)
dxf = - dt
йы,к
следуют из разложения соотношения (9), которое в свою очередь является
лишь переписанной по-другому формулой (7).
Мы можем опять составить эту формулу с помощью наших уравнений, умножив
первое из них на <5а>/4 и второе на - <5mi>k и просуммировав по всем
330
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
индексам i и к. Итак, уравнения (14) равносильны формуле (7).
Следовательно, формула (7) является более простой комбинацией уравнений
(14) и поэтому к рассмотрению этой комбинации можно свести исследование
уравнения (14).
Действительно, произвольные величины, заключающиеся в формуле (7) или
(9), суть вариации бсо,; все остальные зависят от них.
Приписывая им последовательно различные частные значения, мы получим
значения, отвечающие формуле (7), которые будут представлять частные
комбинации уравнений (14). Каждая из этих комбинаций может заменить одно
из уравнений (14), и так как число возможных комбинаций не ограничено, то
мы можем сделать его равным числу уравнений (14). Следовательно, эти
последние будут заменены частными значениями формулы (7).
Необходимо только, чтобы зти значения не были взаимно зависимы.
Если значения зависимы, откидывают их и берут новые так, чтобы общее
число равнялось числу уравнений (14).
Следовательно, вместо уравнений (14) мы можем рассматривать частные
значения формулы (7) или самоё общую формулу, заключающую эти частные
значения. Если можно проинтегрировать некоторые из этих частных значений,
то получим, очевидно, столько же интегралов уравнений (14). Это
происходит потому, что интегрирование какого-нибудь частного значения
формулы (7) сводится к интегрированию суммы произведений этих уравнений
на подходящим образом выбранные множители. Если бы можно было
проинтегрировать формулу (7) в общем случае независимо от значений бсо,,
мы нашли бы все интегралы проблемы изопериметров.
Следовательно, интегрирование дифференциальных уравнений этой проблемы
сводится к нахождению таких значений бсо, при которых формула
или, точнее, ее правая часть, становится интегрируемой (левая часть
интегрируема при любых бсо).
Определение этих величин в общем случае представляет большие трудности. В
частном же случае это определение упрощается. Например, если
dV ,
частная производная не содержит ни функции х, ни их производных, то
вариация б(К dt) превращается в полный дифференциал, если выполнено при
любых номерах г и к
бсо(r) = tfx(r). Действительно, мы имеем в общем случае
1 = 0! k=o jy
d(vdt) = d(vdt) + dt 2
i=i k=0 '
следовательно, по предположению, что
dcoW = dx°p,
получим
l = m к=п jy-
d(Vdt) = d(Vdt) + dt 2
!_i k-0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 331
Итак,
i =т к^п
d v =-- dt 4- v- v - - rfvW
UV dt Ш dx(k) UX ' >
al ,"i
откуда следует
d(Vdt)=d(vdt) + dVdt-^ dt,
и формула (7) сводится к уравнению
1=ш к - п-1
d 2 2 kk^+1)~d V- dJfdt
i= I к -- 0
ИЛИ К
dV
dT = dV - --- dt;
at y
интегрируя, получим
T=v-$-~-dt + h
или
<9-Jf л + й=0,
Г dV
где h является произвольной постоянной и интеграл есть квадра-
тура, так как, по предположению, производная содержит только время t. По
этому же предположению мы можем для простоты записать У вместо
и получим
T=V + h (20)
или
в + h = 0 . (20)
Новая функция V не содержит времени явно, так же как и функция
0 = V - Т.
Интеграл, который мы только что написали, превратится в частном случае
динамики в закон живых сил. Мы могли бы получить это немедленно, положив
do/p = dx^p
в формуле (8), которая является не чем иным, как формулой (7),
где положено Ы = 0. Мы еще раз повторяем, что наш анализ
значительно упростился
бы, если бы мы предположили, что время остается постоянным по отношению к
символу 6.
Возвратимся к уравнению (12). Положив в нем tfco(r) = dxfp, получим
= d?,-'k - dt.
"fr.
В производной учтено лишь явное вхождение времени в ?iik. Если
