Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения при к = 0. Действительно, при этом значении к, второе из
уравнений дает
?' _ dV ?
dxi _1
т. е. (так как _1 = О)
с, _ dv
~ dxi ¦
Следовательно, принимая, что -
f/, -i = 0,
326
М. . ОСТ ОГРАДСК и
мы можем рассматривать только второе уравнение (15), именно
так как одно из них мы уже использовали, а другое есть частный случай
формулы (16).
Таким образом, последняя формула при различных i и к представляет пт
дифференциальных уравнений, связывающих неизвестные проблемы
изопериметров. Добавив к ней пт уравнений
dxp = xf+1)dt, (17)
связывающих те же неизвестные, мы получим все уравнения, относящиеся к
нашей проблеме.
Как мы сейчас покажем, уравнения (16) и (17) тождественны уравнениям
(14). Исключим, для удобства, из этих уравнений п-е производные х(п),
после чего уравнения будут содержать только неизвестные нашей задачи.
Мы предполагали ранее
т л-1
-Т = 2 2 г
/=1 к=О
(10)
0 = У- Т и получили, дифференцируя,
( d& ) _ ( dV \ _ Ё ( d& ) к+1)
( j ~ I dx1*' J \ db,k J ' :
nfc+D
следовательно, уравнения (16) и (17) превратятся в
d&
dx'"'=-~l?BdL
Мы заключили в скобки частные производные, так как получили их, не
принимая во внимание первого уравнения из формул (3).
Эти уравнения дают производные х(п) как функции других величин, которые
должны заменить упомянутые производные в V, Т и О.
Это обстоятельство необходимо рассмотреть внимательнее.
Для этого заметим сначала, что первое из уравнений (3) тождественно с
уравнением
( dV ] = ( dQ }
1 dxf < J I dx\n> j
или с уравнением
<л*Л-о.
[ dxf ' )
Затем, дифференцируя функцию 0, получим
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 327
где i обозначает один из номеров переменных. Так же получим
а(r) ( а(r) '|
~dh,k ~ 1 ds,, к) '
где к изменяется до п - 1. Но
d(r) ( d(r) 'j j- d0 'j dx'/n>
i ~ I dii, n~T) + .r-, [dx'rJ 'dS).^-i
Принимая во внимание уравнение
d&
(
dX;<m 1 °'
мы получим для всех значений i и к соотношения
( d(r)^ , __ d0 М(c) ) _ d(r)
[ dx\k) J dx)k) ' I dli, к J dSi, к ' и, следовательно, выражения (16) и
(17) сведутся к соотношениям :
№i, к = дх'/о dt, dxf = dSj dt. (14)
Предполагая, что п-е производные от х исключены из функции
0, мы
нашли частные производные этой функции по всем ее аргументам за
исключением t.
Определим производную 0 по t. Мы имеем
у-(.П +1)
I d(r)
так как
dt t dt 1
id(r)) п
irfxp j=0 ' п°лучим
d(r) = ( d(r) k
dt ~~ У dt j '
Так как переменная t входит явно только в V, то
следовательно,
и можно написать
d@) (dV
. dt) I dk
J(r) , (dV 'i
"df ~~ 1 k dt J
d& dV
dt ' ~ "dt '
подразумевая, что функция V содержит п-ю производную от х.
Мы только проверили уравнения (14); но их легко также доказать при ранее
принятом условии, т. е. независимо от формулы (7).
Не представляет труда заметить, что выражения |Д~рг) ~ и
- xf+1) могут быть представлены для всех номеров i и к при помощи частных
производных и (Ду одной и той же функции 0, которую мы можем
рассматривать сначала как неизвестную и определить позднее. Другими
328
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
словами, речь идет об утверждении, что выражение
i=m к=п-1
2 2 ¦
,=1 к=о
dv \ dx(-° )
hu-xUxifc)-x}*+1) di,,,
является полным дифференциалом, если рассматривать |, х и их производные
как независимые переменные.
Итак, принимая во внимание, что
мы получим
к=п-1
2
к=О
dV dxf)
И так как
TO
*=o
Ll0x!k) j
k=n-l
rfx<k' = 2' 'Sri dx'k - 2 ^kdxrr'.
k=0 ' ' k=0
Дифференциал, который мы считали полным, будет иметь вид
i~m к = п / / \ i=m к=п- 1
1~т к = п / ji/ \ i-m к=п-1
2 2(?")<1*<ь-2 2 ih,
1 = 1 VUAI J k = 0
dxf+1) + xf+1> di,, ft).
Следуя предположению, что x со своими производными являются независимыми
переменными, дифференцируем по этим переменным, не изменяя времени t :
i = m k=n i oi/ ,
Следовательно, наш дифференциал принимает вид:
i=m k^-n - 1
dV - d У ? h" x('+1) или d{V -T) = d&.
i=i fc=o
Следовательно,
i = m k~n - 1 |
- - i
1 = 1 fe=o |
J
dx? - x?+1) dit,
d9.
Предполагая в этом уравнении величину 0 свободной от x(fc), мы можем
получить отсюда уравнения (14), так как дифференциалы dx? и dil<k
независимы друг от друга и вполне произвольны.
Анализ, при помощи которого мы установили уравнения проблемы
изопериметров и уравнения, которые из них вытекают, оказывается
недостаточным в том частном случае, когда формулы
dV
dx(tm)
- ?i> п-i >
dV
dx(tm)
?2, n - 1 >
dV
dx?
?3, n-1 >
^--i
,<n> ^m.n-l
dx
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ
329
устанавливают некоторые соотношения между неизвестными проблемы. Но нам
этот случай встретиться не может, потому что наши т формул включают
вместе с неизвестными проблемы т производных х^\ х{п\..., х(?\ не
относящихся к проблеме и не накладывающих никаких условий на переменные.
В частных случаях, например в таком, где некоторые из частных производных
dv dV dV
Эх'/" ' Эх"" ' ' ' ' ' Эх<">
не заключают п-х производных функции х, переменные х,, х-, xj,...,
xj"_1), ?f, §itl, 2,..., ii,m-1, могут оказаться связанными между собой
