Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
превратится в уравнение, если в одной из его частей заменить несколько
величин их частными значениями, не изменяя остальных величин. Полученное
таким образом уравнение будет заключать в себе некоторые частные
предположения, сделанные при выводе его из тождества. Выбирая эти
предположения подходящим образом, можно добиться того, что полученное
уравнение будет свободно от всяких иных условий. Оставшиеся условия можно
записать в виде уравнения двумя разными способами, что часто дает важные
преимущества.
2. Предположим, что
Тогда формула (4) примет вид d(Vdt) = d
i-m
2 = о. (б)
I -1
vdt +2 2 ft.**"'* ' (7>
i= 1 к=о
и мы придем к весьма замечательному соотношению, содержащему полную
вариацию и полный дифференциал, но которое по своему смыслу есть не что
иное, как уравнение
2 з{ <4 = о, (б)
i=i
только что введенное нами. Действительно, формулы (6) и (7) не
предполагают ничего другого, и комбинируя их с помощью тождества (4),
независимо от всяких иных предположений, мы получим лишь уравнение (6) и
ничего более. Из того, что уравнения (6) и (7) приводятся одно к другому,
следует, что они выражают одно и тоже соотношение в двух различных
формах. Но так как одно из них легче приводит к результату, чем другое
удобно рассматривать их одновременно. Положив в формуле (7) dt = 0, мы'
получим
1=т к=п-1
dvdt = d2 2 ft.*^ ' (g)
j=i к=о
ИЛИ
i~m к - п j\/ i = m к=п - 1
dt2 2 -ёь8т?) = а2 2 ^,п8<4'. (80
i = l к-0 их1 i= 1 fc=О
Уравнение (6) можно рассматривать, с одной стороны, как соотношение между
вариациями dm, а с другой, как связь между функциями х. С первой точки
зрения оно позволяет исключить одну из вариаций
дтг, дт2 , дт3 , , Ьшт
или,, что то же самое, выразить все вариации через т - 1 других
произвольных величин. Но этим путем мы только вернемся к
уравнениям (3) и (4).
Рассмотрим теперь уравнение (4) как соотношение между функциями х.
21 Вариационные принципы механики
322
М. В. ОСТРОГРАДСКИИ
Припишем бы бесконечно малые произвольные значения, не превращающие (4) в
тождество. Каждой системе этих значений отвечает одно или несколько
соотношений между неизвестными х. Все эти соотношения будут, очевидно,
заключаться среди тех, которые мы получим, приписывая бсо абсолютно
произвольные значения.
В этом предположении уравнение (4) распадается на т следующих уравнений :
^1 = 0, 3t = 0, ^3 = 0, ..., Зт = 0.
Их все можно представить в виде
?< = 0, (9)
где i пробегает т значений 1, 2, 3,..., т. Уравнения (9) превратят
вариацию d(Vdt) в полный дифференциал независимо от величины бы. Они
совпадут с дифференциальными уравнениями проблемы изопериметров. Это
происходит потому, что упомянутая проблема требует обращения в нуль
интеграла
J 8 {Vdt)
при произвольных бы, что может иметь место лишь в том случае, если
вариация 6{Vdt) интегрируема. А это последнее условие выполняется лишь в
силу (9).
Займемся теперь уравнениями, связанными с проблемой изопериметров. Они
заключают в себе как частный случай уравнения динамики. В этом случае
можно предположить, что функция V содержит производные от х, порядка не
выше первого, и является относительно этих производных очень простым
выражением частного вида, именно целой рациональной функцией второй
степени.
Мы еще раз напоминаем читателю, что для простоты предполагаем старшие
производные всех функций х, входящих в V, имеющими один и тот же порядок
п.
Если встретится необходимость, то формулы можно будет изменить
соответствующим образом. Для этого нужно будет только найти частные
разности функции V относительно не определенных еще производных.
Дифференциальные уравнения (9) имеют порядок 2п ; число их т равно числу
неизвестных х. Эти уравнения удобно заменить 2пт уравнениями первого
порядка с 2пт неизвестными. Для этого нужно только рассматривать как
неизвестные наряду с х и производные от х до 2п - 1-го порядка
включительно.
Все новые неизвестные будут связаны уравнениями первого порядка
dx, = х; dt, dx' = х" dt, dx'; = х\" dt, dx\2n~2) = x^1' di,
число которых в связи с изменяемостью индекса i есть 2пт - т. Заменяя в
уравнениях (9) производные порядка 2" соответственно на
dxfп^1) dx(?n~v dX%P~l)
dt ' dt ' ' ' ' dt '
получим еще m недостающих уравнений.
Но функции, принятые нами здесь за неизвестные, не относятся все целиком
к проблеме изопериметров. Мы оставили только половину из них, заменив
остальные более удобными величинами, а именно, мы сохранили неизвестные х
и их производные до я - 1-го порядка включительно. Эти пт неизвестные мы
хотим определить в первую очередь. Оставшиеся пт неиз-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 323
вестные, т. е. производные порядка от п до 2ri - 1 включительно, мы
заменим величинами
у *=z"1 у ^i, 2 у • • • у ^i, л-1 у
число которых, принимая во внимание изменяемость г, есть точно пт. Если
мы найдем эти новые неизвестные ?, то по формулам (3) найдем и
производные порядков от п до 2п - 1.
Составим теперь дифференциальные уравнения первого порядка, содержащие
