Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
характер функции Vdt ни в каком отношении и ни в какой мере не изменялся.
Обозначим через i и к два переменных целых числа, заключенных в пределах
от 1 до т для первого из них и от 0 до п для второго. Тогда при этих
предположениях получим :
6 (V dt) =Vddt + 6Vdt = d(V dt) + dVdt- dV dt,
dv 9x<*>
w = ¦%-" +2 2'$г*1*?'
Z ==1 k=0 0 I
i= 1 k=0 nx'
dV (tm) " dv
m n Й1/
"5 [Vdt) = d(Vdt) + ZZ iSwWMP - 8t dx(^ ¦ fti fcT0 dx '
Мы обозначаем первые, вторые, /с-е производные функции х, как обычно,
через х', х", ..., х(к).
Вариация 6х должна иметь наиболее общий смысл. В этом случае она
вызывается одновременно двумя причинами: изменением независимой
переменной и изменением характера функции. В случае бесконечно малых
приращений первого порядка каждая из этих причин действует так, как если
бы она была единственной, и их общее действие равно сумме этих частных
действий. Но если переменная t превращается в t + 6t, а характер функции
не изменяется, то приращение функции, как это следует из основных понятий
дифференциального исчисления, будет х\ dt. Поэтому, если мы обозначим
через бсо, приращение, которое х,- получает вследствие изменения его
природы, при постоянном /, то получим
dx, = х' dt + dcoj,
где 6 со, есть бесконечно малое, совершенно произвольное приращение. Мы
могли обозначить его просто через со,-, но предпочли 6со" чтобы отметить
его малость.
Продифференцировав приведенное выражение для 6х" получим d dXj - x'iddt +
x" dt dt + dco'i dt;
с другой стороны,
d dxt = d dx, = d (xj dt) = x'j d dt + d x\ dt.
Следовательно, сравнивая, получим
dx' = x"dt + dco'i.
. / d dcoi
Мы написали бсо,- вместо ш , так как здесь не возникает опасения
смешения обозначений.
Читатель хорошо понимает, что знак бсо,- не представляет никакой операции
над со,; он обозначает произвольную бесконечно малую величину и должен
рассматриваться так, как если бы бсо, было одной буквой. Поэтому штрих
обозначает его производную.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ ЗЩ
Сравнение выражений дхк и дх'к даст нам без всяких вычислений
дх" = х\" dt + So/;, дх;" = x""6t + ЗоУ",
и вообще
дх(р = x<f+1> dt + да/p f
откуда получим
дх(Р dt - dx(p = до/p dt,
и, следовательно,
т п ду
d(Vdf) = d(Vdf) + dt? 2-^datp. (1)
/=1 о к
к=П ду/-
Рассматривая сумму dt -M8a)W' мы ДЛЯ простоты опустили в ней
к=О 0Х
индекс г, но после нескольких преобразований мы опять введем его. Эту
сумму целесообразно разложить на две части с тем, чтобы одна из них была
полным дифференциалом. Предположим, следовательно, что
dt к2 VW)дш(к> = Едш dt + d ^21&дш(к> -
к=О к=О
где величины Е и f - коэффициенты, не зависящие от &со и ее производных.
Производя указанное дифференцирование, получим :
2 7т Зш(к> = 38(0 + ^2 <5ft)(fc+1> + & 8ш(к>) >
к=О ' к=О
ИЛИ
кЧ да/к> = dJ дш + -dV до/"> + "v1 - ^ до/к>, dy<k> dx dx(k> 1
гН ^ } '
к=О *=1
" J^f, <Wi+1> = <Ы"> + fc-21 ?*-i ^(к>,
fc=0 *=1
""jF1 ^ = f<5eo + " jy' ^&"<*>,
fc=0 k=l
отсюда, производя подстановки и перенося все члены в одну сторону,
получим
0 = Iг - Sr) + * si' (f*_1 + f* " 5>) •
Это уравнение разлагается на следующие :
р -JL. р - dV ?>
"~ dx ? ' ?п~1 дх(п) ' dx<fc> к;
Вводя опять индекс г, получим
Р - Р - -Р ~ - -*?- - Р> п\
dx(k) "'.*" dx. W
320
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Второе из этих уравнений действительно для значений к от к = 1 до к = п -
1, и все три - для значений i от i - 1 до i = т.
Взяв значение I,удовлетворяющее первому уравнению (2), мы получим из
второго соответственно ?;,л-з> ?<,л-4> • • • > fi,2> ?i,i> ?" а из
последнего S'; объединяя все эти величины, получим:
? - dV "i, п-1
?/, п-2 $i, п-3 п-4
dx\m ' dV
dxf-v I dx\n> J :
dV j ' dV
dx\n~2> t pH 1 С ?
dV ( dV
dx'
(n-Z)
iV V ( dV Г dU V
<*-" J + I dx^1' J 1 dxf> j
S = lJ-fc-l / jy 4(S)
f,.* = 2 .
... =Т(-,)-(^г>,
Так как величины | имеют упомянутые выше значения, мы имеем
(3)
к=п
dt 2-Scfd< = sidco'dt + d 2 *¦
fc=0 k-О
и, следовательно,
к=п-1
I, /с у
i=m ( i=mk-n-l
d{vdt) = dt2 Zi^i + d vdt+ 2 2 •
i=l i=l fc=0
(4)
Это - известная формула для вариации дифференцируемой функции.
Мы могли бы не приводить доказательства этого факта, но все же помещаем
его для желающих.
Если положить dt - О и продолжать обозначать через 6Т вариацию V в
предположении, что t не меняется, получим
(=m (=т к=п- 1
svdt = dt 2 Si^i + d2 2 •
i=i
(=1 fc=0
Формула (4) служит для определёния символа д(Vdt), но она превратится в
алгебраическое тождество, если на место этого символа подставить его
выражение, определенное каким-нибудь другим путем. Например, определение
i=m k=ti
d(vdt) + dt 2 2
dV
,"l fc=0 axi
dcof'',
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕГРОВ 321
даваемое уравнением (1), приводит к тождеству
i = m к=п i = m i = m к=п-1
d 2 2 8т<к) = dt 2 s' 8m< + d 2 2 ft- * 8oyik) > (5)
=1 l=o < i = l i=l k=0
которое мы обозначили номером (5) потому, что первый член есть не что
иное, как SV dt, в том предположении, что dt = 0. Всякое тождество
