Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если, например, величина А не содержит времени неявно, то заменяют ее
вариацию полным дифференциалом, приравнивая соответствующие приращения
функций, которые в ней содержатся, их дифференциалам. Отсюда мы получим
интеграл, который для проблемы изопериметров имеет значение, аналогичное
значению интеграла живых сил для динамики.
Но, возвращаясь к вариациям функций времени во всей их общности,
предположим для определенности, что дифференциал составляет левую часть
этого уравнения, а вариация - его правую часть.
После интегрирования формулы, написанной в таком виде, дифференциал в
левой части исчезнет, а в правой части окажется знак интеграла, т. е.
правая часть будет состоять из интеграла от вариации А плюс произвольная
постоянная. Так как знаки вариации и интеграла можно менять местами, то
правую часть можно представить в виде вариации интеграла от функции А
плюс постоянная.
Мы позволим себе опустить в этом Мемуаре доказательство возможности
перемены местами знаков интеграла и вариации и ограничимся только
утверждением этого :
1°. Все интегралы фундаментальной формулы или дифференциальных уравнений
проблемы изопериметров зависят от частных производных одной и той же
функции, а именно интеграла от А. Половина неизвестных в упомя-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 317
нутых уравнениях являются частными производивши этой функции; другая
половина задается уравнениями, которые получают приравниванием остальных
частных производных той же функции произвольным постоянным.
2°. Функция "интеграл от Л" удовлетворяет уравнению в частных производных
первого порядка. Она сама не входит в это уравнение, а входят только ее
производные.
3°. Полный интеграл этого уравнения достаточен для разрешения проблемы
изопериметров, т. е. для нахождения полного интеграла системы
дифференциальных уравнений, связанных с этой проблемой.
Мы опускаем в этом Мемуаре некоторые результаты, получающиеся отсюда на
основании частных предположений. Эти результаты трудно выразить без
специальных алгебраических обозначений. Мы ограничиваемся ссылкой на то,
что они выводятся целиком из фундаментальной формулы с такой же простотой
и легкостью, как и теоремы динамики.
Наконец, путем одновременного применения двух различных вариационных
характеристик к фундаментальному уравнению мы придем к теореме,
значительно более общей, чем аналогичная теорема Лагранжа, положенная им
в основу исследования вариаций произвольных постоянных в вопросах
динамики. Мы установим для проблемы изопериметров теорию варьирования
произвольных постоянных.
Наши исследования, без сомнения, аналогичны методам, употребляемым в
динамике. Однако нельзя сказать, что мы только непосредственно применяем
эти методы. Если бы это было так, теория, которую мы установили, была бы
давно получена первым геометром, познакомившимся с ее аналогом в
динамике. Мы думаем, что стоим на правильной точке зрения, утверждая, что
открытие свойств этой системы дифференциальных уравнений четного порядка
с произвольным числом неизвестных относится к проблеме изопериметров,
частным случаем которых являются уравнения динамики. Приемы для
установления этого аналогичны предлагаемым здесь нами, так как основаны
на принципе, который является для динамики тем, чем наша основная формула
является для проблемы изопериметров. Но этот принцип, а именно "принцип
потерянных сил", основан на теории движения и по этой причине не
относится к статике. Наоборот, принцип, который мы установили методами
чистого анализа, заключает равновесие потерянных сил как частный случай.
Он не был и не мог быть замечен со старой точки зрения, и, следовательно,
невозможно было заметить, что метод, которому он дал начало, приложим
ктеориям несравненно более общим и широким, чем теория динамики.
Мы возвращаемся теперь к предмету нашего Мемуара, чтобы указать другие
применения нашего принципа и, особенно, случай, когда имеются заранее
заданные соотношения между функциями, заключенными в величине,
обозначенной выше буквою А.
1. Обозначим через V произвольную функцию от независимой переменной t,
величин хъ х2, ..., хт, рассматриваемых как функции /, и их производных
по t различных порядков. Порядок старшей производной от х может меняться
для различных функций. Однако, чтобы не входить в некоторые кропотливые
подробности, мы будем говорить так, как если бы все они были одного
порядка, и предоставляем читателю изменить соответствующим образом наши
рассуждения, если это окажется необходимым.
Независимую переменную t будем называть временем, отчасти для облегчения
изложения, отчасти же потому, что роль ее, вообще говоря, такова же, как
роль времени в уравнениях динамики.
Представим себе, что все переменные : t, xv х2, ха,... ,хт получили
одновременно бесконечно малые и совершенно произвольные приращения
318
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
б/, бх1; бх2, ..., бхт и найдем вариацию б (Vdt) при том предположении,
что она вызвана исключительно вышеупомянутыми приращениями, причем
