Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 143

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 461 >> Следующая

то
¦ 2l, yz'-zy'
tgv = j; -E&vv=-jr->
или после умножения на у2 - г2 sin2 <р cos2 у>:
r2sin29>-y' = y.-J-z^;
поэтому получим
r2sin29>-у"'= у-^| - 2-^= const, т. ё. принцип площадей для плоскости у,
z.
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ
ИЗОПЕРИМЕТРОВ [141]
Мы рассматриваем в этом Мемуаре важные, до сих пор не замеченные
следствия, вытекающие из выражения вариации некоторой функции,
предполагая, что эта функция содержит вместе с основной или независимой
переменной также функции этой переменной и их производные различных
порядков. Для упрощения рассуждения обозначим изучаемую нами функцию
через А и назовем независимую переменную временем. Это наименование
оправдывается тем, что независимая переменная играет у нас ту же роль,
что и время в динамике.
Известно, что вариация А, которая зависит от времени, от каких-либо
функций времени и их производных, распадается на две части. Первая часть
является полным дифференциалом, каковы бы ни были функции времени,
входящие в А, и вариации этих функций. Другая часть, напротив, неинтегри-
руема, если только что названные функции и их вариации остаются
произвольными. Однако, подчиняя эти функции и их вариации определенным
условиям, мы можем не только сделать эту часть интегрируемой, но даже,
если бы это было признано необходимым, привести ее к нулю. Среди
бесконечного множества способов этого приведения один представляется
наиболее замечательным. Он состоит в исключении неинтегрируемой части
единственно за счет функций, содержащихся в А, не затрагивая их вариаций.
Этим способом исключения пользуются в проблеме изопериметров. Применяя
его, можно получить те дифференциальные уравнения, которые имеют место в
этой проблеме.
Эти уравнения содержат как очень частный случай уравнения динамики ; они
заслуживают внимания не только уже в силу этого обстоятельства, но и сами
по себе.
Как следствие этих уравнений, как бы одновременно с ними, мы получим
весьма замечательную формулу, а именно равенство между вариацией А и ее
первой частью, которая всегда интегрируема, если вторая часть этой
вариации приведена к нулю. Эта формула превращает полную вариацию в
полный дифференциал ; она является основой настоящего исследования и
приводит к важным следствиям. Она представляет собой не что иное, как те
дифференциальные уравнения, которые установлены для обращения в нуль
интегрируемой части, т. е. дифференциальные уравнения проблемы
изопериметров. Однако она представляет эти уравнения в форме, которая
позволяет легко вывести из нее многие важные свойства, которые не так
легко раскрыть, изучая эти же уравнения в их обычной форме.
Для сокращения мы будем называть эту формулу фундаментальной формулой или
фундаментальным уравнением.
316
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Неизвестные, которые входят в эту формулу, те же самые, которые входят в
задачу об изопериметре, а именно функции времени, содержащиеся в Л, и их
производные до некоторого определенного порядка, который мы не считаем
нужным уточнять. Однако не все эти переменные удобны для наших
исследований. Мы оставим только половину из них, заменив остальные более
удобными.
Оказывается, что переменные, применением которых достигается наибольшая
простота и которые наилучшим образом соответствуют проблеме, - это те
переменные, которые находятся под знаком d в дифференциальной части
фундаментальной формулы, где они являются коэффициентами при вариациях и
их производных. Эти величины, повторяем, составляют только половину
общего числа неизвестных, поэтому за другую половину мы примем функции,
входящие в Л, вместе с теми их производными, которые также заключены в Л,
за исключением одной производной высшего порядка каждой из этих функций.
При помощи весьма простого преобразования фундаментальная формула
распадается на систему дифференциальных уравнений первого порядка, число
которых равно числу неизвестных, о которых мы только что говорили выше.
Эти уравнения совершенно подобны общим формулам динамики, хотя эта наука
является только очень частным случаем проблемы изопериметров. В наших
формулах, как и в формулах динамики, дифференциалы неизвестных выражаются
через вариации некоторой функции, которую мы здесь определим и которая
зависит только от времени и неизвестных независимых переменных проблемы.
Кроме того, мы без труда приходим к тем же дифференциальным уравнениям
без помощи фундаментальной формулы.
Не следует упускать из вида, что эта формула устанавливает равенство
между полным дифференциалом и вариацией величины А, каковы бы ни были
приращения или вариации функций времени, содержащихся в А.
Если придать этим приращениям частные значения, делающие вариацию А
интегрируемой, то фундаментальная формула превращается в равенство между
двумя полными дифференциалами. Тогда можно ее интегрировать и она дает
также интегралы дифференциальных уравнений проблемы изопериметров, так
как эта формула выражает, в сущности, эти же уравнения.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed