Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 142

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 461 >> Следующая

движения уже в старом издании Аналитической механики [14°].
Если представим себе все координаты выраженными через величины q, то
получим после дифференцирования :
*<
ЭXI , , Эх,- , Эх,- ,
"3<7Г 41 Э?Г ft + • • ' + ~dqif ft '
Эу/
Если подставим эти значения в Т = ~ Е m,(x'2 + у -2 + zj2), то получим
выражение, которое представляет собой однородную функцию второй степени
относительно величин q[, ft, ..., q'k, коэффициенты которой - известные
функции от ft, ft, ..., ft. Если мы положим
312
К. ЯКОБИ
то уравнение (8) можем написать еще так:
dp$ _ Э (Т + U)
dt ~ dqs ' к >
Это, правда, еще не окончательная форма уравнений движения, так как она
требует дальнейших преобразований ; но раньше чем этим заняться,
распространим предыдущее рассуждение на тот случай, когда не существует
силовой функции, а на месте 8U в первоначальном символическом уравнении
стоит Х(Х, dxt + Yt dy, + Z, 8Zi). Когда все выражено в величинах
q, то SU = -Щ- 8qs. Если это сравнить с только что упомянутым
выражением Е (X,- dx, + Yt dy, + Z, dz,) и вспомнить о правиле, данном во
второй лекции, по которому при преобразовании координат надо
представить вместо дх,, ду,, dz, соответственно dqs; -Щ- 8qs;
-Щ- dqs то легко видеть, что вместо 8qs войдет выражение
з и
и, таким образом, вместо будет стоять выражение
(10>
Посредством этого преобразования уравнение (8) заменится следующим:
эг
-М._______- =0 (И)
dt dqs Ws' Л 4
Если будем подставлять сюда вместо s значения от 1 до к', то получим для
рассматриваемого случая уравнения движения, выраженные в величинах q.
Мы хотим убедиться в справедливости уравнения (11) еще другим путем и для
этого будем исходить из уравнений (5), данных в предыдущей лекции :
m (Pxt dt2 - X, + Я Э/ Эх, + А Э со Эх, + •••,>
Ш, (Pyi = К, + Я э/ + Iх Эа> 1
dt2 Эу, Эу, 1 • • •,
щ d2Zi dt2 = z, +я 3/ Эг, + Iх Эсо ~Эг,~ + ...
Умножаем эти уравнения на-Щ-, -0-, и суммируем по i; тогда получим
множителем при Я выражение
df Эх, df Эу, df dzi\ __ df (q1, дг, qic)
у ( df Эх, . df dyt , df azi A __
v Эх, dqs dyi dqs 9zi dqs)
dqs
Но выражение в правой части исчезает на основании уравнений (7) и то же
будет с коэффициентом при /г ...; поэтому получаем, принимая во внимание
уравнение (10) :
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
313
Чтобы убедиться в справедливости уравнения (11), мы должны показать, что
его левая часть тождественна с левой частью уравнения (12). Это будет
показано таким образом. Мы имеем
поэтому
T=4-2'm,W2 + y? + ^);
j*L _ Ут {х - + V- " 4- г'- -1 •
эй -f 1 Г' э?; + у'. эй + ' эй) '
эг
Э qs
цт' И Ш+у* + z't Л) •
Но мы имеем еще дифференциальные уравнения :
, _ Эх; , Эх; . . . Эх; .
+ 'э^(?2 + ---+ ЭТкЧк'
, _ dyi_ , Эу; , , Эу; ,
У,_ э?1^+,'э^^ + ---+ -щ-Jk,
Эг; , Эг; , Эг; ,
' ~ ~Wiqi + WJ*+ • • •+ Э^Як'
откуда следует, что
Эх; Эх; . Эу; Эу^ _ Эг; Эг;
dq$ ЭQs ' ЭQs ЭQs ' dqs Эqs
Далее, имеем:
¦ Эх;
9*< _ ^х; , Э2х; Э2х; , _ Эqs
dqs dqs Эqx Э qs Эq3 "2 ' ' * Эqs dqk "к dt
d JtyjL
Эу; _ Э2у; , Э2у; , | Э2у; , Эqs
dqs dqsdqt d qsdq3 (tm) dqsdqk "к dt
. Эг;
М. _ Э2г, Э2г; , Э2г; , _ Э qs
dqs dqsd4l Чг "г Э?5Э?2 " f • • - f 99sQ9fc Чк ~ dt
a<r a<r
Подстановка этих значений в -^-т и в дает
dqs dqs
9Г = V m fx' dxt j_ v' 9^;)
Эй ЛШ'{Х' дЧ$+У' dqs+Z' dqs)'
Эх; Эу; Эг;
^-= Ут.|т'" 9qs . ; 9?s 9?s
9ffs x< T"- + У'' "57- + z<- Tt
поэтому
QT _ I d ¦ d - - d
dT
dqs ^ t -Ж~ ^ ~~dT ^ ?i ~~dt
я T
d
_ - Vm fdXf Эх; . d>T I dZj_ Эг;) _
dqs ^ '{dt dqs dt dqs ~1" dt dqs) ~
= "V m -^L -4- -i- -' Эг;)
'{dt* dqs ^ dt2 ~9?s ^ dfi dqs)'
а отсюда следуют тождественность уравнений (11) и (12) и вместе с тем
правильность первого из них.
314
К. ЯКОБИ
Итак, если силовой функции нет, то уравнения движения будут вида (1);
если она есть, то уравнения будут иметь вид (8) или, что то же, вид (9),
а именно:
dps 9 (г + и) __ эг
dt dqs ' Ps 9q's '
Благодаря форме этих уравнений получаем непосредственно следующий
замечательный результат: Если можно выбрать новые переменные так, что
одна из них, qs, не входит в силовую функцию и что в Т не входит сама
переменная qs, а входит только ее производная q(s, то из этого
обстоятельства каждый раз получится интеграл данной системы
дифференциальных урав-
Э7*
нений, именно ps = const или, что то же, = const. Действительно, при
v(]s
сделанном предположении 9 ^ == 0; поэтому имеем ~ = 0, откуда
Vi = const. Этот случай имеет место, например, при притяжении точки одним
неподвижным центром. Если этот центр находится в начале координат, то
имеем в полярных координатах (см. уравнение (3)):
U = -; T = ±-m(r'2 + r2<p'2 + r2sin2<py>'2),
Г А
и, таким образом, у> не входит в U, а в Т входит не само у>, а его
производная у>', поэтому имеем
э т
= mr2 sin2 <р • у>' = const,
или, внося множитель m в постоянную,
г2 sin2 99 • у>' = const,
что можно было бы вывести и из третьего уравнения (6). Это есть принцип
площадей для плоскости у, z.
В самом деле, так как
x = rcos<p; у = г sin 99 cos у; z = г sin 99 sin у,
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed