Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 140

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 461 >> Следующая

это уравнение равнозначно системе (5).
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
307
Чтобы рассмотреть всю совокупность задач, которые содержатся в уравнениях
(5), мы должны принять во внимание случай, когда в условия входит явно
время ; тогда тоже имеют место уравнения (5). Чтобы получить
представление о том, как время может входить в условия, предположим,
например, что материальные точки связаны с подвижными центрами, движение
которых дано ; связь эта такова, что центры действуют на материальные
точки, не вызывая реакции. Но для этого предположения необходимо дать
подвижным центрам массы, которые по сравнению с массами материальных
точек бесконечно велики. В этом случае без дальнейших рассуждений берем
для материальных точек уравнения (5); подвижные же центры сохраняют без
изменения данные им движения. В самом деле, пусть М будет масса одного
центра, принимаемая за бесконечно большую, р - одна из его координат;
тогда сила, действующая в направлении координаты р, пропорциональна М ;
если мы назовем ее МР, то имеем, принимая во внимание связи системы,
м^е- = мр + 1^г + "Цг + ...
После деления на бесконечно большую массу М получим
&Р р (ft2 '
все же остальные члены выпадут. То же получим для прочих координат, т. е.
центры следуют данным им движениям, не обращая внимания на связи.
Значения А, /л, ... и А1; ... будут здесь, конечно, другие, чем раньше,
так как при дифференцировании присоединяются еще частные производные по
t. Например, к А (уравнения (7)) присоединяется член--, к В - член
ду 0
^ИТ.Д.
Однако время может входить в условия совершенно иначе, например, когда
связь двух точек ослабляется или расширяется, хотя бы при возрастании
температуры; но все условия такого рода можно свести к подвижным центрам,
если только взять как основное положение, что две связи, которые приводят
к одним и тем же уравнениям, могут заменять одна другую.
Время, кроме того, может еще очень затруднить дело, если, например, с
течением времени меняются массы. Но до сих пор не было необходимости
делать это предположение для мировой системы, так как наблюдения, нужные,
чтобы решить, имеет ли оно место, еще недостаточно точны.
Восьмая лекция
Интеграл Гамильтона и вторая лагранжева форма уравнений динамики
Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип,
который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла
обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные
уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего
действия. Этот принцип раньше оставался незамеченным, вероятно, потому,
что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум,
как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был
первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для
того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал
Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего,
20*
308
К. ЯКОБИ
силы X,, Yi, Zi будут частными производными функции U ; далее, пусть Г
будет половина живой силы, т. е.
Г - i 2 т, .5 = у г щ {(-f)¦ + (%¦ Г + (¦§¦)¦);
тогда новый принцип содержится в уравнении
d$(T + U)dt = 0. (1)
Этот принцип по сравнению с принципом наименьшего действия более общий
постольку, поскольку здесь U может содержать явно также и t, что в первом
принципе исключается, так как из него время должно быть исключено при
помощи теоремы живой силы, которая может иметь место только в том случае,
если V не содержит явно времени.
Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения
дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению
в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию
(1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так,
что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по
себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком
интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения
задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения.
Новый принцип, выраженный полностью, формулируется так:
Если даны положения системы в данный начальный момент t0 и в дан-, ный
конечный момент tv то для определения действительно происходящего
движения служит уравнение
d$(T + U)dt = 0. (1)
Здесь интеграл берется от t0 до tv U есть силовая функция и может также
содержать явно время, а Т есть половина живой силы, так что имеем
Т = \ 2 т, (х-2 + у]2 + z\2),
Y' _ v _ dyi _ dzi_
¦' dt ' Yi~ dt ' ' ~ dt '
Если выполнить указанную в этом принципе вариацию, приписав координатам
по правилам вариационного исчисления вариации dxh 6у" 6z,- и оставив
неизменной независимую переменную t, то получим
d[Tdt = SdTdt = $2mi (х- ёх- + у', ду\ + Y, dz]) dt.
Подставляя вместо Ьх\, ду], дг] выражения и инте-
грируя по частям, найдем:
= 2 Щ (х] dxt + у] dyt + г] dzt) - J 2 Щ (x'i 3xi + у] dyt +
г] дг,-) dt,
где х], y"i,z'i - вторые производные от хь уь г,, .взятые по
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed