Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, видим, что в уравнении (а) все 3п выражений, умноженных на
дх,, ду,, dz,, ..., надо положить равными нулю и рассматривать эти
уравнения так, что т из них определяют множители X, /л, ..., а остальные,
в которые надо подставить найденные таким образом множители, дают
дифференциальные уравнения задачи. Другими словами, из Ъп уравнений, на
которые распадается уравнение (а), если все вариации рассматривать
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
305
как независимые, надо исключить т множителей Я, ц,..., и тогда получатся
3п - т дифференциальных уравнений задачи. Но вместо того, чтобы
производить это исключение, лучше оставить неизвестные множители в Зп
уравнениях и исследовать дальше эти последние ; они будут тогда иметь вид
:
т
т,
mi
d2xt
Чр
cPyi
dt2
d2zi dt2
Yi +x
- z, + я
_9/_
3Zi
+ j"
9 <p dxi
dip
~dyi 3y ,
3z, • •
+ .
(5)
где для всех n значений i везде входят одни и те же множители X, ц, ...
Это и есть та форма, которую Лагранж дал уравнениям движения системы,
связанной любыми условиями.
Величины, прибавленные к силам Xlt Yit Z" выражают действие системы, т.
е. изменение, которое приложенные силы претерпевают благодаря связям
материальных точек. К этому же результату приходят в статике, когда
доказывают, что в случае, когда в п точках системы приложены силы
JL
3 Xi
+ р
dip
dxi
+ •
J!L
dyt
¦+/л
dip 3yi
+ •
JL
3Zi
I &p I
+ fl ~3i7 + -
параллельные координатным осям, то эти силы уничтожаются связями системы,
откуда вытекает, что уничтожаемые связями системы силы не определены, но
содержат неопределенные величины Я, /г, ... Поэтому введение множителей
Я, /л,... не есть просто искусственный прием вычисления, - на самом деле
эти величины имеют в статике вполне определенное значение. От только что
приведенной теоремы статики можно теперь перейти к уравнениям (5)
движения, притом основывая переход от статики к механике на следующем
рассуждении.
Благодаря связям системы материальные точки не могут следовать сообщенным
им импульсам. Чтобы получить истинное движение, надо присоединить такие
силы, комплекс которых уничтожался бы связями системы и после
присоединения которых систему можно было бы рассматривать так, будто
точки следуют приложенным к ним силам без сопротивления ; другими
словами, после присоединения сил, уничтожающихся связями системы, можно
рассматривать систему как свободную. Это можно установить как принцип, и
из него сами собою получатся уравнения (5).
Именно этот принцип, давший нам благодаря присутствию связей системы
изменение сил, вызывающих ускорение, служит также и для того, чтобы найти
изменение мгновенных сил, возникающее под действием связей системы.
Формулы, которые тут надо применить, совершенно те же самые. Если на
точку т,- действуют мгновенные импульсы а" i>" с" то, принимая во
внимание связи системы, получим следующие измененные импульсы:
+ ik+Pi ¦§& + ¦•• b< + Я1 ¦Цг+Л Wi + • • с' + ^ Ж + •'
(6)
где величины Я1( pv системы.
снова остаются одними и теми же для всех точек
20 Вариационные принципы механики
306
К. ЯКОБИ
Если мы хотим определить величины а, ц, ... и Xv /av ..., то надо
дифференцировать уравнения / = 0, <р = 0, ... Для определения величин А,
/л, ... их надо продифференцировать два раза и затем подставить вторые
производные координат из уравнений (5); для определения же величин Хг,
/л17 . .. их нужно дифференцировать только один раз, так как мгновенные
импульсы пропорциональны скоростям, т. е, первым производным. Разложим, в
самом деле, уравнения для определения Xv fiv ..., предполагая, что
мгновенные импульсы а" Ь(, с, действуют в начале движения и что система в
этот момент находится в полном покое. При таких обстоятельствах мы можем
для начала движения совсем не принимать во внимание силы, вызывающие
ускорение, так как эти силы могут дать только бесконечно малые скорости,
поэтому мы должны для определения Xv /лг, ... составить дифференциальные
уравнения
У fMLMl _0/_ jtyi I JLMl\ = П
\ дх, dt 'r dyt dt 'т 02, dt)
"v \MlMi ML Ml ML dz'\ - n
| dxi dt "*¦ dy, dt + 02, dt /
и т. д. и подставить в них вместо ---, , - величины (6), разделив их
предварительно на ш,. Это дает следующий результат: полагаем
А = 2и-Ша'+Шь<+ iH -
IN-
а л = ^ _L (ML ML . ML .. М . .М МЛ
\h I) mi У QXj Oxi "Г Qy. Qyt "Г 02. 02. J ,
a w) = 'V- (ML Ml 4- ML Ml л. ML 8<? 1
\Ь V) т ^ Oxi Oxi ду, ду, 02, 02, ) '
тогда для определения Xv juv . . . имеем уравнения :
О - А + (f,f)X1 + (/, <p)Mi + (f,f)v i + • •
О = В + (<Р, /)^i + ('Р,?')/*! + (<P,V')vx + • • •" (7^
О = С + (% /) Хг + (f, <р)рг +
и т. Д.
Той же формы будут уравнения для определения Я, /л, ..., только тут А, В,
С, ... принимают другие значения.
Возвращаемся теперь к дифференциальным уравнениям (5). Если мы их
помножим соответственно на д хь д у(, д z, й сложим все 3п произведений,
то получим снова символическое уравнение, которое мы обозначили выше
через (а), именно :
2Ч(-^ *Х' + -^9у'+ М?дг,) = ди + кд1 + рду + ...; (8)
