Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2)
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
303
(3)
Но так как по нашему принципу эта вариация должна исчезнуть, то имеем г,
\( ЗУ (РхЛ о , (дU (Рул . , (дU d2zi\ . |
0 ~ ^ (1 Зх/ т' dt2 J ' ^ Uyi т' dt2 J + [ 32, т' Л2 J
''}
или
2га, + % 6yt+^ + ш }у[ + " d!i)
а это есть прежнее символическое уравнение [ш].
Уравнение (2) есть не что иное, как теорема живых сил : действительно,
при помощи квадратуры получаем
Bdx\ = A dt2
или
<"+*>¦
Это можно было предвидеть, так как мы исключили время из интеграла
принципа наименьшего действия при помощи теоремы живых сил.
Седьмая лекция
Дальнейшее изучение принципа наименьшего действия.
Множители Лагранжа
Кроме того недостатка, что при обычном способе выражения принципа
наименьшего действия теорема живых сил не вводится в интеграл, выражающий
этот принцип, плохо еще то, что обычно говорят: интеграл должен быть
наибольшим или наименьшим; между тем надо сказать : его первая вариация
должна обращаться в нуль. Смешение этих никоим образом не тождественных
требований так вошло в обычай, что его едва можно поставить в упрек
авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произошло
замечательное qui pro quo, которое относится к кратчайшей линии. Лагранж
говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не
может сделаться максимумом, потому что как ни длинна будет кривая,
соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более
длинную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть
минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных
случаях, в частности для замкнутой поверхности, за известными границами
перестает быть минимумом, заключил отсюда, что в этих случаях интеграл
должен быть максимумом. Оба заключения неправильны ; в случае кратчайших
линий интеграл во всяком случае никогда не будет максимумом, а будет либо
минимумом, либо ни тем, ни другим, -¦ ни максимумом, ни минимумом.
Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа
наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи
принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо
другого интегрального уравнения задачи ; только таким путем можно придти
к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в
Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа
наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ
выражения после сделанных выше замечаний не допустим. Лагранж применил
только что открытое им вариационное исчисление к использованному уже
Эйлером принципу наименьшего действия, но употребил при этом принцип
живых сил в расширенном виде, приданном
304
К. ЯКОБИ
ему Даниилом Бернулли, и таким образом пришел к общему символическому
уравнению динамики, из которого мы исходили и которое мы здесь еще раз
напишем:
2 т, {§- дх, + ду, + ^ "Ц = 24* дх, + Y ду, + Z дг,), (1)
где в правой части надо поставить 6U, когда имеет место принцип живых
сил. Если отвлечься от того, что 6V в принятом в вариационном исчислении
смысле только тогда может быть поставлена в правой части уравнения, когда
величины X, F, Z являются частными производными одной и той же функции U,
и рассматривать 8V просто как символическое сокращенное обозначение, то
равенство
+ <2>
будет служить также и для того случая, когда теорема живых сил не имеет
места. Это уравнение, как уже раньше было упомянуто, справедливо также и
тогда, когда имеются условные уравнения, но тогда вариации не будут
больше зависимы друг от друга. Если имеется т условных уравнений
/ = 0, <р = 0, ... , (3)
то между вариациями тоже существует т условных уравнений :
(4)
и т. д.
При помощи этих т уравнений можно исключить из уравнения (1) т из 3п
вариаций 8xh ду,, dz,, и если после этого оставшиеся вариации положить
независимыми друг от друга, то символическое уравнение (1) распадется на
дифференциальные уравнения движения. Но зто исключение было бы очень
затруднительно и имело бы, кроме того, некоторые неприятные стороны ; во-
первых, пришлось бы некоторые координаты предпочесть другим, и поэтому
получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного числа
условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения,
вследствие чего общность исследования была бы сильно затруднена. Все эти
трудности преодолел Лагранж введением множителей (метод, который уже
Эйлер часто употреблял в задачах "de maximis et minimis"). Так как в
уравнения (1) и (4) вариации дх,, ду,, dz, входят линейно, то исключение
т из них можно произвести следующим образом. Умножаем уравнения (4)
соответственно на множители X, ц, . . . и складываем их с (1); полученное
уравнение назовем (а).
Определяем теперь множители X, /л, ... так, чтобы в уравнении (а) т
выражений, умноженных на вариации дх,, ду,, dz,, .. ., тождественно
обращались в нуль ; тогда, приравняв нулю выражения, умноженные на
остальные 3п - т вариаций, получим дифференциальные уравнения задачи.
