Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
кратчайшие линии пересекаются, в их точке пересечения обращается в нуль
не только первая, но и вторая вариация, и разность сводится, таким
образом, к бесконечно малым величинам третьего порядка, т. е. не будет
никакого минимума.
Мы возвращаемся теперь снова к общему рассмотрению минимума для принципа
наименьшего действия. Произвольные постоянные, которые получаются после
интегрирования дифференциальных уравнений движения, определятся всего
проще через начальные положения и начальные скорости движения; через эти
начальные данные определятся все постоянные интегрирования, так что не
может быть никакой многозначности. Но в принципе наименьшего действия
предполагаются заданными не начальные положения и начальные скорости, а
начальные и конечные положения системы. Поэтому, чтобы найти истинное
движение, надо решить уравнения, определяющие начальные скорости из
конечных положений. Эти уравнения не обязательно будут линейными,
вследствие чего можно получить несколько систем значений начальных
скоростей, и им соответствует тогда несколько движений системы из данных
начальных положений в данные конечные положения, и все эти движения дают
minima относительно бесконечно близких к ним движений. Если теперь
интервал начальных и конечных положений изменять непрерывно, начиная от
нуля, то различные системы значений, которые получаются при решении
уравнений для начальных скоростей, также будут изменяться. Когда при
таком изменении систем значений наступит случай, что две системы значений
равны друг другу, то это и будет границей, за которой нет больше
минимума.
Эту теорему, которая, кстати сказать, не имеет никакого значения для
механики в узком смысле, я опубликовал в журнале Крелля*), но только как
заметку без доказательства. Как пример к ней, рассмотрим движение планет
вокруг Солнца. Даны : фокус А эллипса как местоположение Солнца, большая
ось эллипса и, кроме того, два положения pwq планеты. Обозначим
*)Том 17, стр. 68 й след
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
301
второй, пока неизвестный, фокус через В; тогда через данные отрезки
определятся расстояния точки В от обоих положений планеты р и q, а
именно, эти расстояния равны а - Ар и а - Aq благодаря известному
свойству эллипса. Но это дает для В два положения В и В', одно выше,
другое ниже линии, соединяющей р и q. Таким образом, получаются два
эллипса, а вместе с тем также два движения планеты, которые возможны при
заданных отрезках. Чтобы оба решения совпали, точки В и В' должны лежать
на линии, соединяющей р и q, т. е. р, В и q должны лежать на одной
прямой, а тогда q совпадает с р'. Таким образом, р' обозначает границу,
за которую нельзя распространять интеграл, имеющий начало в р, так, чтобы
он не переставал быть минимумом.
Мы возвращаемся теперь к собственно механическому значению принципа
наименьшего действия. Оно состоит в том, что в уравнении (I) этой лекции
заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место
принцип живой силы. В самом деле, уравнение (1) имело вид
<5j72(U + h) = 0.
Здесь после исключения времени все координаты можно выразить как функции
одной из них, например х" и поэтому можно написать:
aj Щи + Ц\1 Z dxf = о
или
4 fw+щ У s п, Щ+{?$'+(§)'} - о.
Если положим теперь
dxi_ _ > ^ , dz' - у
dx, " dx, yi' dx,
TO
5 J У2 (U+h) TZm, (x'z + y'2 + z?) dx, = 0.
Вводя обозначения
2(U + h) = A, 2ml(*l* + y? + z'l*) = B, VAYB = P, имеем, наконец,
d$Pdx,= 0,
откуда получаем правило : подставляем в § Р dx, вместо хи уь г,-
соответственно хt + bxn yt + dyh zt + bzh где dxb dyh dzt
обозначают произволь-
ные функции, умноженные на бесконечно малый множитель а и не обращающиеся
в бесконечность внутри границ интегрирования, разлагаем по степеням а, и
тогда полагаем член, умноженный на первую степень а, равным нулю. При
этом надо заметить, что, во-первых, так как границы интегрирования даны,
то от них не будет никаких вариаций, во-вторых, что по той же причине все
вариации на границах должны исчезать и, наконец, что вообще есть нуль,
так как х, - независимая переменная.
302
К. ЯКОБИ
Поэтому по правилам вариационного исчисления получаем
d<jjPdx1=\)dPdx1 = f W9P о . ЭР s . ЭР . . 9Р " , .
9Р " , . ЭР " Л ,
= J 2 (-Э5Гдх' + д^Г3У'+ liT 2/ + IF,дх' + Wi Vi + Щ 'J1 •
" 9P
Г 9P s ' ^ Г ЭР d<5xf . 9P -
J Эх', '' 1 ~~ J Эх- dx, 1 Эх; 1
Ho
9x/
dx.
dXj dxx
или, так как dxt исчезает на границах интегрирования,
ЭР
г ЭР Эх,-
dx 1
(5x, dxx.
Подобные же уравнения получатся для у,- и г,-; пользуясь ими, получим
9Р ^Эх,'). , (.ЭР
|Д Эх/ dx1 J '' + V Эу/
+
dдр \
Эу, dx. 1 <5у/ +
г d9p
ЭР Эг,:
" 9г,- dx.
к
dxt.
Но
ЭР _ 1 [В Э А
Эх/ 2 'а Эх,'
ЭР 1 [А ЭВ
Эх, - 2 1В Эх,
7г= l/^m< *;•;
следовательно,
ЭР d^ эх;- [в э и d(m,]/^ dxt dx.
Эх, dx. ! А Эх/ ! н 1
Если теперь положим (см. стр. 298)
1/^dx1 = dt,
то получим
w 9Р _
ЭР дх1 ][В_ ( эи _ ЛсЛ
Эх/ dx, |/ А I Эх, di2 )
и подобные же уравнения для у, и г,-. Введя эти выражения, на йдем
