Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 136

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 461 >> Следующая

принимают для хх = а и хг= b остальные Зп - 1 координат) и интеграл
j Щи~+1г) У2 m^sf
распространен на весь путь системы от первого ее положения до второго, то
его значение будет для истинного пути минимумом по сравнению со всеми
остальными возможными путями, т. е. с такими, которые совместны с
условиями системы (если таковые существуют). Таким образом,
J' f2(U + h) 1fj^dsf
будет минимумом или
<5 j ЩОЧ- 1г) ][2 mids* = О р-].
(1)
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
299
Теперь уже трудно найти метафизическую причину для принципа наименьшего
действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме.
Существуют minima совсем другого рода, из которых тоже можно получить
дифференциальные уравнения движения и которые в этом отношении обещают
много больше.
Принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно
ограничение. Именно, минимум интеграла имеет место не между двумя любыми
положениями системы, но только тогда, когда конечное и начальное
положения достаточно близки друг к другу [138]. Мы сейчас объясним, какую
границу здесь нельзя переходить.
Рассмотрим сначала один особенный случай. Пусть единственная материальная
точка двигается по данной поверхности под влиянием начального толчка, и
пусть на нее не действуют силы притяжения. В этом случае U = О, а сумма Е
rriids) превращается в mds2; таким образом, J ds или s будет минимумом,
т. е. материальная точка описывает кратчайшую линию на данной
поверхности. Но кратчайшие линии сохраняют свое свойство быть минимумом
только между известными границами ; например, на шаре, где кратчайшими
линиями служат большие круги, это свойство не имеет места, как только
будем рассматривать длину, которая больше, чем 180°. Чтобы это увидеть,
не надо обращаться к дополнению до 360°, что ничего не доказало бы, так
как minima должны иметь место всегда только по отношению к бесконечно
близко а лежащим линиям ; мы убеждаемся в этом иным способом. Пусть В
будет полюсом А ; продолжим большой круг АаВ через В до С и проведем
большой круг АР В бесконечно близко к АаВ; тогда АаВС = АрВ + ВС = Ар +
рВ ВС. Далее, пусть р лежит бесконечно близко к В, а PC есть дуга
большого круга ; тогда рС < РВ + ВС рис- 1.
и, следовательно, ломаная линия Ар + рС меньше, чем большой круг АаВС.
Таким образом, на шаре 180° есть граница минимальных свойств. Чтобы эту
границу определить в общем случае, я установил путем более глубоких
исследований следующую теорему.
Если из какой-нибудь точки поверхности провести по всем направлениям
кратчайшие линии, то могут встретиться два случая: две бесконечно близкие
кратчайшие линии либо проходят все время одна возле другой, не
пересекаясь, либо они вновь пересекаются, и тогда последовательность всех
точек пересечения образует их огибающую кривую. В первом случае
кратчайшие линии никогда не перестают быть кратчайшими, во втором они
будут таковыми только до точки касания с огибающей кривой.
Первое имеет место, как это само собой разумеется, для всех
развертывающихся поверхностей, так как на плоскости прямые, проходящие
через одну точку, никогда вновь не пересекаются ; далее, как я нашел, это
имеет место для всех вогнуто-выпуклых поверхностей, т. е. для таких, у
которых два взаимно-перпендикулярных нормальных сечения имеют радиусы
кривизны, направленные в противоположные стороны, например для
однополостного гиперболоида и для гиперболического параболоида. Из этого,
впрочем, не следует, что не могут существовать вогнуто-вогнутые
поверхности, которые не принадлежали бы к этой категории, по крайней мере
невозможность такого случая не доказана.
Пример второго рода дает эллипсоид вращения. Возьмем его мало
отличающимся от шара ; тогда кратчайшие линии, которые проходят через
300
К. ЯКОБИ
любую точку поверхности, хотя и не будут, как на шаре, пересекаться все в
полюсе, но будут в окрестности полюса иметь маленькую огибающую кривую.
При поверхностном рассмотрении это обстоятельство кажется парадоксальным;
¦ действительно, огибающая кривая вообще имеет то свойство, что система
кривых, которые она огибает, не может входить во внутреннюю ее область.
Поэтому должна была бы существовать часть поверхности, обладающая тем
свойством, что в любую точку пространства, ограниченного этой
поверхностью, нельзя провести из данной точки кратчайшую линию, что
невозможно. Но парадокс этот выясняется при более точном исследовании
огибающей кривой, как видно из прилагаемого чертежа, на котором ABCD
изображает огибающую кривую, которая приблизительно имеет вид эволюты
эллипса, a EFG - кратчайшую линию. Она выходит из Е, входит в часть
поверхности, ограниченную огибающей, касается ее в точке F и перестает с
этого места быть кратчайшей линией. Это свойство кратчайших линий, что
они перестают быть таковыми после соприкосновения с общей их огибающей,
найдено, как сказано, путем глубоких исследований ; но после того как
о1но найдено, его легко увидеть, потому что когда две бесконечно близкие
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed