Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
d*x__ , дР_ й2у _ 8 и дР
т dt2 Эх Эх ' т dt2 ду ' ду ' ' ' ' '
если с помощью формул для первичного движения выразить функцию О через t
и через бп произвольных постоянных, то производные этих последних в
возмущенном движении будут
dal dQ da2 dP d&an-l dP dh \dP
~df 9ft ' ~dT ~ -0ft' •• " dt ~ 9ft"-i ' dt
~&Г '
#1 d?2 dh dP dpsn-i dP dr dP
dt dax ' dt 0a2 ' •' It - dasn-i у ~dC dh
Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона,
который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и
конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще
второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы,
относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я
изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я
легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной
некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления
элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту
простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей
статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом
движении, где интегрирование уравнения в частных производных
приводит к известным формулам эллиптического движения и одновременно к
шести элементам, способным удовлетворить поставленной цели, а именно:
обратная величина большой оси, квадратный корень из полупериметра,
произведение этого последнего на косинус наклонения, расстояние от
восходящего узла, долгота перигелия и время прохождения через перигелий.
Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных
первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую
я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а
именно : по некоторой данной системе элементов, которые связаны с
временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в
канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают
тем же свойством.
Решение этой задачи заключается в следующей теореме анализа.
ЗАМЕТ КА ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 293
II. Пусть дана система дифференциальных уравнений :
dat дН da2 дН dam дн
dt ~~ дЬг ' dt 9Ь2 ' ' ' ' ' dt ~ дЬт
+ II дН даг ' db2 _ . + дН да2 ' dbm . • ¦ ' ' ИГ ~ дН дат
где Н - какая-то функция t и переменных av а2, , ат, Ьи Ъ2, ..., Ът ;
пусть будут аь а2, ..., ат, /?1; @2, ..., - новые переменные, связан-
ные с прежними переменными следующими уравнениями :
0У___Й ЭУ а
Эсц ~Pl' даг Pz ' ¦ дат - Рт '
дУ ¦ u дУ _ u дУ _ h
даг ~ ъ 9аг~ "2' ' ¦ • ' дат ~ т '
где W - некоторая функция переменных av а2, .. ., ат, а1г а2, . .., ат,
не зависящая ни от времени, ни от каких-либо других переменных ; я
утверждаю, что если выразить при помощи предыдущих уравнений функцию Н
через t и через новые переменные аь а2, ..., ат, /?1( /?2, ..., /?т, то
между этими последними переменными будут иметь место дифференциальные
уравнения в точности такой же формы, что и данные, а именно :
dax 9 Я da2 дН dam дн
чг Щ ' dt ¦ 1 е* ha. со I II ¦ • '' " "йГ " " 9 рт
0г dt = + -°" Т даг ' dt . дН ~ + ~д^' d/5m | * * *' dt " + дн да
т
Можно вывести из этой теоремы другие теоремы, менее общие, подставляя ?+к
+ 1*?2 + .. . вместо ? и исключая множители Я, р, ... при помощи
уравнений
?1 = 0, ?2 = 0,...
Доказательство этих теорем не представляет затруднений.
К. ЯКОБИ
О НОВОМ ОБЩЕМ ПРИНЦИПЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [132J
По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных
точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и
интересное замечание : Во всех случаях, когда силы являются функциями
только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к
интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя
переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам.
Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне
кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие
общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той
разницей, что другие принципы дают только первые интегралы
дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к
последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой,
нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда
аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру
системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой
стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения
центра тяжести во многих отношениях имеют преимущество перед новым
принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между
координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как
интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур.
Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все
