Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 132

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 461 >> Следующая

ясно и что даже невозможно уловить его истинный смысл, после того как
дано лишь его определение, не прибегая к доказательству. Это происходит
от того, что забывают добавить в самом определении принципа, что под
знаком интеграла, который должен иметь минимум, элемент времени
предполагается исключенным с помощью уравнения живых сил. Это последнее
имеет вид
~2mds2 = (U + h) dt2, где h - произвольная постоянная ; поэтому не
интеграл
а интеграл
$YU+Л ]fZmds2
должен согласно принципу наименьшего действия иметь минимум. Гамильтон
дал строгое доказательство этого, так же как и Эйлер в своем "Новом
методе" (Nova methodus) и т. д. Но можно сделать довольно существенное
возражение против определения этого принципа в том виде, как оно дано
Лагранжем; это возражение относится к словам максимум и минимум. В самом
деле, легко доказать, что максимума никогда не может быть, что для
движения, ограниченного известными пределами, всегда имеет место минимум,
а при выходе за эти пределы нет ни максимума, ни минимума. Применяя
принцип к равномерному движению точки по поверхности, Лагранж говорит,
что в этом случае имеет место минимум, потому что максимума не может
быть; Лагранж, стало быть, думал, что есть случаи,.
ЗАМЕТКА ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ 291
когда вместо минимума получается максимум. Мне кажется, что, заменяя на
"максимум и минимум" в Miscellanea Taurinensia и в своих последующих
работах слово "минимум" - единственное, которым всегда пользовались Эйлер
и Лаплас, Лагранж хотел в краткой и остроумной форме подвергнуть критике
мнение Эйлера, который считал, что возможно при помощи его принципа
выразить божественное провидение. В самом деле, если допустить как
одинаково возможные максимум и минимум, продолжая приписывать
рассматриваемому интегралу его метафизическое истолкование, то это было
бы равносильно утверждению, что природа заставляет действовать силы то с
наибольшей, то с наименьшей мудростью. Позднее ни Лагранж, ни его
последователи не попытались как-нибудь оправдать добавление максимума. В
настоящее время представление какого-либо закона в форме теоремы о
максимуме и минимуме все больше и больше теряет свой характер физический
или метафизический, так как теперь доказывают, что большие классы
аналитических задач, например те, которые связаны с интегрированием
уравнений в частных производных первого порядка между любым числом
переменных, могут быть представлены как изопериметрические задачи.
В своей статье я доказываю обратное: все задачи об изопериметрах, в
которых под знаком интеграла имеется некоторое число функций одного
переменного с их производными любого порядка, могут быть приведены к
интегрированию уравнения в частных производных первого порядка.
Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между
принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого
параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж.
Эйлер в Берлинских мемуарах*) высказал даже мнение, что, рассматривая
бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа
наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет
место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые
фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой
своей части, если привести интеграл к его правильному
виду ______________
j VU + h VZmds2 I131].
Но одно обстоятельство, кажется, a priori доказывает, что параллелизм, на
котором настаивает Эйлер, невозможен. Именно, на основании замечаний,
сделанных выше, интеграл при бесконечно малых движениях всегда имеет
настоящий минимум, тогда как в так называемом законе покоя может
получиться максимум, минимум или ни тот, ни другой.
Заканчивая, беру на себя смелость привести в качестве извлечений из
работы, о которой я говорил выше, следующие теоремы, которые я считаю
важными.
I. Пусть
d*y__dU_ Pz _ 8 и т dt* ~ Эх ' т dP ~ ду ' т dt* ~ .Ьz ' • • •
- Зп дифференциальных уравнений движения свободной системы; пусть
^2 т (dx2 + dy2 + dz2) = (U + h) dt2
- уравнение живых сил, где h - произвольная постоянная. Пусть V - полное
решение уравнения в частных производных
^ Ж)'+(?¦)'+№)]-<'+*.
*) M?moires de l'Acadlmie royale des sciences et belles lettres, Аппёе
1748, Berlin, 1750,
1 Q *
292
К. ЯКОБИ
решение, которое, помимо постоянной, добавляемой просто при помощи
сложения, должно содержать 3п - 1 произвольных постоянных а1( а2, ...
..., aSn_x; я утверждаю прежде всего, что 3п уравнений
дУ _ R дУ - R дУ _ R дУ 4 >
0а2 -Р* '¦¦¦¦' ЪЩ-Р**-*' 17T = f + T'
В которых /?1; /32, . . . , Рап-1 СУТЬ 1 новых произвольных постоянных,
будут полными интегралами данных дифференциальных уравнений с бп
произвольными постоянными alt а2, ..., азп_ь j32, й, г. Установив это,
предположим, что движение испытывает возмущения и что дифференциальные
уравнения возмущенного движения принимают вид :
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed