Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
различные формы некоторой функции элементов (Function of Elements),
связанные с главной функцией и друг с другом, применяет их к вопросу о
возмущениях и показывает, что для возмущений систем из трех или большего
числа масс с некоторым законом притяжения или отталкивания и с одной
преобладающей массой дифференциальные уравнения варьированных элементов
всех малых масс могут быть выражены вместе так же просто, как и обычным
путем, коэффициентами одной функции возмущения, которой является
возмущенная часть полного выражения Н, и могут быть строго интегрированы
при помощи следствий его общего метода.
К. ЯКОБИ
ЗАМЕТКА ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ [130]
Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до
сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять
различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того,
чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы
механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки
зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется,
добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные
черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии,
после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии,
приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и
полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место
принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в
интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из
интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на
две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое
вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место
также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие
сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы
находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на
заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что
дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это
движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный
интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай.
В то время как я составлял пространную статью, относящуюся к этим
исследованиям, я был отвлечен вопросами из области теории чисел, которая
всегда была излюбленным предметом большого числа математиков; только
после опубликования результатов, полученных в этой области, я вернусь к
моей работе по динамике. В ожидании этого я осмеливаюсь представить
Академии заметку, о которой я говорил выше и которая только что была
напечатана в журнале Крелля.
Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше
известил Академию: полное интегрирование дифференциальных уравнений,
составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или
минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть
новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных
постоянных; он основывается в принципе на важных свойствах
19 Вариационные принципы механики
290
К. ЯКОБИ
линейных дифференциальных уравнений, которым можно придать форму
Лу+ КАЯ , dHCy") ,dW=0
у ^ dx ^ dx2 ^ + dxm и >
где у(т) заменяет Таким путем мы приходим к простому и общему
предложению, которое весьма удобно для приложений. Например, если его
применить к кратчайшим линиям на замкнутой поверхности, выходящим из
одной точки, которые, вообще говоря, будут огибать кривую, образованную
их последовательными пересечениями, мы приходим к теореме, гласящей, что
"дуга такой линии, начинающаяся от общей исходной точки и оканчивающаяся
раньше, чем она достигнет своей точки касания с общей огибающей, всегда
является кратчайшим путем на поверхности между двумя ее концами, но если
эту дугу продолжить за точку соприкасания или по крайней мере, до этой
точки, то между этими двумя концами не будет ни самого большого, ни
самого короткого пути".
Я полагаю, что принцип наименьшего действия следует рассматривать как
один из наиболее важных принципов механики. В самом деле, мы видим, как
молодой Лагранж в одной из статей в Miscellanea Taurinensia,
представляющей собой бессмертную работу, стоящую выше всякой похвалы, в
один прием выводит из этого принципа целиком всю аналитическую механику.
Принцип возможных скоростей был введен лишь в последующих работах только
для проведения методических доказательств. Почему же аналитическая
механика, эта неблагодарная дочь, нашла нужным осудить принцип
наименьшего действия как бесполезный? Если работы Гамильтона и
исследования, о которых я говорил выше, добавляют нечто существенное к
аналитической механике, то этим мы обязаны как раз этому принципу.
Мне кажется, что упомянутый принцип обычно преподносится недостаточно
