Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
замечает, что она должна удовлетворять следующему уравнению в частных
производных первого порядка и второй степени (время теперь варьируется):
!+^МИГ+(ff+(f)'i=y- Р)
которое может быть строго преобразовано следующим образом при помощи
уравнения (5):
S = 51+f>-f+>'5L[(tr+(tr +
о
+(ЭД *+bs {(I - §)'+(? - ?)¦+(I - WI "• <8>
Sx - произвольная функция тех же величин t, т, х, у, z, а, Ь, с,
предполагаемая только (подобно S) исчезающей в момент времени t = 0. Если
эта произвольная функция Sx выбрана так, что она дает приближенное
значение искомой функции S (и всегда легко выбрать ее таким образом), то
оба определенных интеграла в формуле (8) малы, но второй в общем меньше,
чем первый; им можно пренебречь, переходя ко второму приближению, и в
вычислении первого определенного интеграла можно употреблять следующую
приближенную форму уравнений (6):
dS • 3S : dS ¦
8а = -та> 8ъ=-тс- (9>
Таким образом, первое приближение может быть успешно и неограниченно
исправлено. И для практического улучшения метода ничего более, кажется,
не требуется, кроме того, чтобы сделать этот процесс исправления более
легким и скорым в его приложениях. Профессор Гамильтон написал две статьи
об этом новом методе динамики, и одна из них уже печатается во второй
части "Philosophical Transactions" в Лондоне за 1834 г. Метод не является
в первом представлении таким простым по форме. Он употребляет сначала
характеристическую функцию V, более тесно связанную с той оптической
функцией, которую он открыл и обозначил той же буквой в своей "Теории
систем лучей". И в динамике, и в оптике эта функция есть величина,
называемая "действием" и рассматриваемая как зависящая (главным образом)
от конечных и начальных координат. Но если эта функция действия
применяется в динамике, она включает вспомогательную величину Н, а именно
известную постоянную часть в выражении половины живой силы системы; и
много беспокойных исключений требуется впоследствии при применении этой
функции, которые устраняются новой формой метода.
Мистер Гамильтон думает, однако, отметить кратко новые свойства этой
постоянной Н, которые подсказывают новый способ выражения дифференциалов
и интегралов уравнений движения притягивающихся или отталкивающихся
систем. Часто полезно выразить 3п координат х, у, z, ..., хп, уп, zn как
функции 3п других отметок положения [ш], которые могут быть обозначены
так : %,..., и если 3п новых переменных cov ..., а>3п будут введены и
определены как
- (¦ дх . ¦ ду , ¦ dz Л
"' = ^mlxar + >'? + zw)'
(10)
О ПРИЛОЖЕНИИ к ДИНАМИКЕ ОБЩЕГО МЕТОДА
287
то в общем возможно обратно выразить бп переменных х, у, z, к, у, z как
функции 6п переменных р и ко, т. е. возможно, следовательно, выразить Я
как функцию
Н=У-%-(к2 + У2 + г2)- U (11)
в форме
Н = F((olt. . .,со8п, . . .,Vsn), (12)
в которой F есть рациональная, целая и однородная функция второй степени
относительно переменных ко; теперь мистер Гамильтон находит, что если
величина Я выражена таким образом, как функция бп новых переменных г],
ко, то ее вариация может быть определена в такой форме :
dH = 2j(yfcо - содр), (13)
где rj, to обозначают первые производные новых переменных р, ко, взятые
по времени. 3п дифференциальных уравнения движения второго порядка (4),
связывающие прямоугольные координаты и время для какой-либо
притягивающейся или отталкивающейся системы, могут быть, следовательно,
общим образом преобразованы в двойное число уравнений первого порядка
между бп переменными и временем в форме
Г) =-~ со =---------- [1291 П4>
г'' 95, ' ' 0ч/ L J' 1 '
Проинтегрировать эту систему уравнений значит выделить из нее бп
отношений между временем t и 6п переменными щ, ко, и бп их начальными
значениями, которые могут быть обозначены как eh р,. Мистер Гамильтон
решает проблему в этой более общей форме при помощи той же самой главной
функции S, что и выше, рассматривая ее, однако, как зависящую теперь от
новых отметок р и е конечных и начальных положений различных точек
системы. Полагая в этом новом обозначении
s = J'.2H§-")<k 05)
о
и рассматривая время как заданное, он находит формулу вариации :
dS = Z(kodv-pde) (16)
и, следовательно, 6п отдельных уравнений
0S 9S
- 0ч/ ' Pi ~ да '
которые суть формы искомых отношений. Профессор Гамильтон думает, что эти
две формулы для вариаций (13) и (16), а именно :
дН = ? {рд<о - т др) (А)
и
6S = 2 (содр - р де) (В)
заслуживают внимания, как выражающие в сжатой и простой форме одна -
дифференциалы, а другая - интегралы уравнений движения притягивающейся
или отталкивающейся системы. Они могут быть распространены
288
У. ГАМИЛЬТОН
и на другие проблемы динамики, кроме этой главной задачи. Выражение Н
всегда может быть легко найдено, и функция S может быть определена с
неопределенной точностью методом последовательных приближений в том
смысле, как это разъяснено выше.
Эти свойства его главной функции рассматриваются более полно в его труде
"Second Essay on a General Method in Dynamics", в котором он вводит
