Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
от того, является ли dr положительным или отрицательным, т. е.
соответственно увеличивается г дли уменьшается. Это сделано, чтобы
придать каждому подынтегральному выражению неизменно положительное
значение.
Вообще говоря, по-видимому, это полезное правило (хотя ему не всегда
следуют математики) употреблять символ квадратного корня YR только для
положительных величин, если впереди специально не поставлен отрицательный
знак. Тогда ~ будет означать положительную или отрицатель-
I! г2
ную единицу, соответственно тому, является ли г положительным или
отрицательным.
Предполагается, что дуга, обозначаемая синусом в выражении элемента со,
избрана таким образом, что она непрерывно увеличивается с течением
времени.
35. После этих замечаний относительно символики применим формулу (Р2),
чтобы вычислить значения пятнадцати комбинаций вида {к, Ц шести
постоянных величин или элементов (Q2).
Так как
г = У? Т?+?~, (187)
то легко видеть, что шесть комбинаций четырех первых элементов будут {к,
А} = 0, {к,/л} = 0, {k,v} = О, {А, д} = 0, {k,v} = 1, = 0.
(188)
Чтобы образовать четыре комбинации этих четырех элементов с т, нужно
принять во внимание, что пятый элемент т, как это видно из его выражения
в (Q2), явно содержит (помимо времени) расстояние г и два элемента к, д.
Определенные выше 'комбинации показывают, что эти два элемента могут
считаться постоянными при образовании четырех искомых комбинаций. Нам
следует учесть изменение г, и если мы интерпретируем с помощью
правила (Р2) символы [к, г}, {А, г}, {д, г}, {v, г} и примем во внимание
урав-
нения (J2), то увидим, что
{/с, г} = 0, .{А,г} = 0; {№г}= , {"-,г} = 0, (189)
dv
где является полной производной г при невозмущенном движении,
определенном уравнениями (J2). Следовательно,
{к, т} = 0, {А, т} = 0, {v, т} = 0 (190)
OSD
Очевидно, что в процессе дифференцирования выражений элементов (Q2) мы
можем считать эти элементы постоянными, если заменим дифференциалы ?, г),
С, х', у', г' их невозмущенными значениями. Остается вычислить
276
У. ГАМИЛЬТОН
пять комбинаций пяти рассмотренных элементов с последним элементом со,
который представлен в (Q2) как функция расстояния г, координаты С и
четырех элементов к, X, [г, v. Таким образом, мы можем использовать
формулу
{*"> = W М + % м-+ ж {**} + % М + % М + ? м '
(192)
если в ней е будет каким-либо из первых пяти элементов или расстоянием г.
Тогда
{'.г} = -Ц(? + ч? + С&} ¦{*{}=-?. {".*}= О (193)
И
6т __ /'Ж')-1 8(о dZ, 8(о 8(о__ . ,. q
If - (dz7) ' ~8r dr ~8? ' ~8? ~ ** '1У4'
Формула (192) может быть записана' в следующем виде :
I г' fi 4- -I- С--) I
с 1 { ( дх' ^ ' ду' ^ dz'J де J (дк 'i-1 , г i 8со г л i j 8(o e i
{e, со} _ | gx, + Tte7] Ы7] + & v} + <5A } + JjZ {e'k}-
(195)
Мы легко найдем с помощью этой формулы, что
{*,">}=-1; {Х,со} = 0; {^, со} = 0; (196)
и
Г "I ^ (5ft) Л / f
-^--^ = 0. (197)
Формула (195) распространяется также и на комбинацию {т, <у}, но в
процессе вычисления этой последней комбинации мы должны помнить, что т
определяется уравнениями (Q2) как функция к, /и, г, так что
-? = -*!• <198>
Таким образом, с помощью уже определенных комбинаций (196), мы видим, что
{т,а>}]= - fyt" = Ж J0rdr + T\(r)rdr, (199)
ч ч
где вг и Qr - сокращенное обозначение коэффициентов при dr в
подынтегральном выражении формул (Q2), а именно :
м dr М + m Yd?2
(200)
f о t кл11 \ M T cn kZ\ ^
|2^ + M/(r)----------g-*7*} .
n k~\[M + m dr f0 | M + m k*)-i
Qr=-fi |/ -M~yp I + 2M/ (r) M- ' •
Эти коэффициенты, очевидно, связаны соотношением
ж + ъ1 = 0> (201)
которое (после интегрирования) принимает вид
г г
^Jerdr+ ardr = °. (202)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
277
Здесь г, является величиной, независимой по отношению к элементам к и р.
Мы могли бы, следовательно, сразу заключить с помощью (199), что
комбинация {т, со} исчезает, если бы не обнаружилась трудность,
заключающаяся в необходимости варьирования нижнего предела q, зависящего
от этих двух элементов, и в том, что на этом нижнем пределе коэффициенты
вг, Qr становятся бесконечными.
Однако соотношение (202) показывает, что мы можем представить комбинацию
{т, со} следующим образом :
Г/ т,
{т, со} = ^-J 0r dr + ^Jl2rdr, (203)
ч ч
где г, является вспомогательной и произвольной величиной, которая
фактически не может повлиять на результат, но может облегчить вычисление.
Другими словами, мы можем придать расстоянию г произвольное значение, не
изменяющееся в зависимости от бесконечно малых вариаций к, р. Это может
оказать помощь в процессе вычисления значения формулы (199). Поэтому мы
можем предположить, что увеличение расстояния г - q мало и соответствует
малому положительному интервалу времени t - т, в течение которого
расстояние г и его производная г' постоянно увеличиваются. И далее, после
первого момента т величина
ег = у (204)
будет постоянно ограничена, положительна и будет уменьшаться в течение
того же самого интервала времени, так что ее интеграл должен быть больше,
