Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем предположить далее, что эти интегралы най-
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
273
дены в таких формах:
/О)
(t, ?, у, С, х', у', z'), v = %(4)(/, ?, у, С, х', у', z'),
* = X(2)(t, ?, У, С, х', у', z'), т:
= Х(3) (t, ?, У, С, X', у', Z'), СО:
X(b){t, ?, у, с, X', У, Z'), X(e)(t, I, у, *'" У'> г')-
(К2)
Шесть величин к, А, /л, v, т, со являются константами невозмущенного
движения какой-либо одной двойной системы. Поэтому шесть функций, таких,
как ха\ Х(2\ Х(3>, %(4), Х(5), %(6), или к, I, /л, v, т, со тождественно
удовлетворяют следующему уравнению :
ус уу 2
dz' dt " >
_ дк дк дНг ° = mlt + diJ?
дк уу у. уу _У_ | У yh
dt "т- dt] ду' ду' dt] dt, dz'
дх
и пяти другим аналогичным уравнениям для пяти остальных элементов Я, (л,
v, т, со какой-либо двойной системы (т, М).
33. Возвращаясь теперь к первоначальной множественной системе, мы можем
оставить уравнения (К2) как определения, но тогда уже не можем больше
рассматривать элементы кь А,, /ли vu rh coi двойной системы (m" М) как
постоянные, потому что система возмущается теперь другими массами тк.
Однако 6л - 6 уравнений возмущенного относительного движения, когда мы их
запишем в форме
т
т
dt _ дН1 + й772 т dx' дН1 й/7.
dt дх' йх' ' ОТ -~ dt ~ '
1! _ й/7, ду' + йН2 V ' т dy' IF -_ дНг дг] _ й/Т, й?;
'
di7 _ dt й/7, Й2' + йн2 Й2' ' т dz' ИГ ~~~ дН1 ~ЗС " ЙН2
й?
(М2)
и объединим с тождествами вида (L2), дадут нам следующее простое
выражение для дифференциала элемента к в его возмущенном и изменяющемся
состоянии :
dk дк й/7, дк дН, , дк й/7, дк й/7, , дк й/7, дк й/7.
т dt dt дх'
дк дН, , У дНг дх' dt дг) ду'
дк й/7, дк й/7,
ду' dt] dt dz'
dz' dt
(N2)
совместно с аналогичными выражениями для дифференциалов других элементов.
Если мы выразим ?, rj, С, х', у', г' и, следовательно, само Я2 как
функции, зависящие от времени и этих переменных элементов, мы можем
преобразовать 6л - 6 дифференциальных уравнений 1-го порядка (М2),
связывающих $, rj, С, х', у', г', t в такое же число уравнений того же
порядка между этими переменными элементами и временем. Они будут иметь
такую форму:
dk t, й/7, , <5/7, , t, 1 дН, , г,. 1 йН, , ,, ¦, ЙН,
т
т
т
т
т
dt
с/А
dt'
d/л
dt :
dv
~dt
dr
lit
= {*. Тя2 +I*. du + "> 1? + (*•" + {*. "> ¦
dH%
dk
й/7,
dk SH,
д/л
дН,
д/л
й/7
4 Т,2+{*. I2+& -й2+&"}
ЙН,
V, (tm)2 + "йя2 + М т} °й"2 + Ь "}
ЙН,
да)
ЙН2
йсо
йНа
йсо
й/7.
т
й/7 2
д/л
= М ^ + (*> I2 + Ь 4 >2 + ^ + Ь "} -йсо
dco ( ,i й/7, , г. II ЙН, , г 1 й/7, , г 1 дН0 , г _л дН,
17:
К Л>'+ ЬА> ^ + {сч^} + {со,+ {со, т} ^
(О2)
18 Вариационные .принципы механики
у. i /\ткиюi ил
если мы примем для упрощения, что
(к п _ * "
\К>Л/ - д§ Sx'
Sk SX Sk Si
Sx' <5? St] dy'
Sk_ Si Sk Si_ Sk Si p2,
Sy' Sn+ SC Sz' Sz' SC' ' '
и из этого символа образуем другие символы, {к, /г}, {Я, к} и т. д.,
путем чередования букв. Очевидно, что эти символы имеют такие свойства :
{Я, к} = - {к, Я}, {к,к} = 0. (184)
Из п. 15 вытекает, что комбинации {к, Я} и т. д., представленные в
функции этих элементов, не содержат время в явном виде. Существуют,
вообще говоря, согласно свойствам (184) только 15 таких различных
комбинаций для каждой из л - 1 систем. Но всего их могло бы быть 15л -15,
если бы они не допускали дальнейшего сокращения.
Однако из рассмотрения принципов п. 16 следует, что 12л-12 этих
комбинаций могут быть приведены к нулю посредством соответствующего
выбора элементов. Ниже предлагается иной путь значительного упрощения
уравнений, по крайней мере для обширного класса случаев, в которых
невозмущенное расстояние между двумя точками каждой двойной системы (т,
М) допускает минимальное значение.
Упрощение дифференциальных выражений посредством соответствующего выбора
элементов
34. Когда невозмущенное расстояние г от т до М может принять
минимальное значение q, соответствующее времени т и удовлетворяющее в это
же время условиям
г' = 0; г" > 0, (185)
тогда интегралы группы (J2), или известные законы невозмущенного движения
т относительно М, могут быть представлены следующим образом:
к = У Ш + Щ'? + (r/z' - Су')2 + - Cz')2} ;
Я = к - Су' + г)Х';
М + т
2 М
¦ (Х'2 _|_ у/а _|_ г'2) _ щ (Г) .
V = tg-1 •
ls Cz' - Cx' '
г
т = t -
м
dr
~,-dr
M+m ydr2 ¦
J
4
CO
¦ v + sin
k-C-r1
У 2ki - A*
У dr*
¦ dr
2fi + 2Mf (r)
(Q2)
Здесь минимальное расстояние q является функцией двух элементов к, [г,
которые должны удовлетворять условиям
2A* + 2M./(9)-(l+5)| = 0, Mf'(q)+{ 1+S)|>0, (186)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
275
a sin-1 s, tg-1 t использованы (согласно написанию сэра Джона Гершеля)
[120], чтобы выразить не косеканс и котангенс, а обратные функции,
соответствующие синусу и косинусу или дугам, которые чаще называют
arc (sin=s), arc (tg=f). Следует отметить также, что множитель который
мы ввели под знак интеграла, не является лишним. Оставаясь равным единице
по абсолютной величине, он сообщает ей знак плюс или минус в зависимости
