Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
29. Эта функция посредством формул (109) и (152) может быть точно
выражена следующим образом :
Vi -¦ ki + ^1 f > V2 - k2 + ^2 ^ i % - кз + К t -2^2' ^
(149)
со j - , a>2 - 12 , co3 - Л3 g t.
(150)
и
(151)
причем H2 здесь представляет собой выражение
с = -? j да - л* + да - ki) dt + ^U(x3t- -'-И2 - d dt, (153)
о о ^ '
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
265
и поэтому имеет следующее первое приближенное значение, полученное
благодаря тому, что мы рассматриваем элементы к1г к2, к3, Ях, Я2, Я3 как
постоянные и равные их начальным значениям еъ е2, е3, рг, р2, р3 :
С = - -Up?{e\ + е\) + гЩ + [ [/г2 (р\ + pf) -f '
,2 n2l
(154)
Подобным же образом мы имеем в качестве первых приближений того же типа,
который выражен общей формулой (Z1), следующие результаты, выведенные из
уравнений (151):
Я1 = Рх - Р2(М-f у/М2) ,
К = Рз - Ръ (е21 + у р2 f2) , (155)
Я3 = Рз - v* (^з t + у Рз t2 - у gts) ,
и, следовательно, в качестве приближений того же рода :
К - Pi
Pit-
К-Pz
во =
yp3f + lgf2- *3 рз
V*t
(156)
Подставляя эти значения вместо начальных постоянных ev е2, е3 в
приближенное значение (154) функции элементов С, мы получаем следующее
приближенное выражение Сх для этой функции, имеющее форму, которая
вытекает из нашей теории :
Ci
1 f(V
21 \
- Pl)2 + (к - Р2)2 , (к - Pj* I
/J? V2 )
(K - Pi) Pi + (Я, - Pi) p2 + (Я3 + Рз) (рз - у gf)} +
+ Ж {^2 (Pi + Pl) + г'2 Pl} - 24 г'2 ёРз +
90
^,2g2 (
(157)
В данном случае в соответствии с принципами, изложенными в восемнадцатом
параграфе, точная функция С должна удовлетворять уравнению в частных
производных:
дс
dt
+ M + (7S7 + М } + х("^7 + яз^~т^2) ' (158)
и если написать ее в форме (U1)
С = Сх + С2,
то Сх представляет собой первое приближение, которое, по предположению,
исчезает со временем, и тогда поправка С2 должна строго удовлетворять
266
У. ГАМИЛЬТОН
условию (
Л-_т?-+'т (тг|г + М 1 гг (Яг 1 ') 1 '¦! f 1г -- h'ft* - tJV (-иг)2 +''!ЙЯ
+ "а (ж-)'}1*- <159>
Переходя ко второму приближению, мы можем пренебречь вторым определенным
интегралом и можем вычислить первый при помощи приближенных уравнений
(155), после чего получим
С2- J {(^1 Pi)2 + (Я2 - Рг)2 + (Я3 Рз)2} dt +
о
+ -у- J (Я1 (Я1 - Pi) + К {К - Р2)} ^ + -Jj (я, - у g/j (Яз - Рз) р = - з
{(Я1 - Р,)2 + (Я* - р2)2 + (Яз - Рз)2} +
+ 2Т {/i2 Pl - PJ + Р2 Рз (Я2 - Рз) + г2 Рз (Яз - Рз)} -
_ Р
"45
dt
v'l g (Я3 - Рз) + X, (Р4 Р2 + Р4 Pl + ^ Pl)
240 v4 ? Рз + 945 v4 g2 • (160)
Мы можем подобным же образом усовершенствовать это второе приближение,
вычислив новый определенный интеграл С3 с помощью следующих более
приближенных форм соотношений между переменными элементами Я1, Я2, Я3 и
начальными постоянными, выведенными посредством нашего общего
метода
<5СХ SC, Я1 Pl
е1 <5/?i 8Pi 11* t
<5С, SC, _ ^•2 P%
н SPi Sp, fl*t
д Сх sc, Я3 Рз
дРз dp* v21
+ gt2 6 fl +7v42 I ^ 60 v*t*\ 1 40 J
vt212 . /14 /4
(1 +
24
H*t* /1Ч1
~6 + ""24""
{Pi
2
ft 1 ЛЛ 4.
6 ' 24 J 2 ( 12 60 J '
+ •
v2 I2 r4 tl
6 + ~24~
)
) _ JP!*_ ( 1 1 P*** I /РР)
J " 2 + 12 + 60 J '
(161)
в которых мы можем рассчитывать только на члены до второго порядка, но
которые, когда они освобождены от малых делителей, позволяют довести
точность до четвертого порядка, и тогда [117]
= Pi-p2^(ei +ypW) + 4" Р4 (ei +ТР1*) >
, = р2 - p2f (с, + у ра + у р4/3 (с2 + у р2 /) ,
(162)
Я3 = Рз - ("* + у Рз t - -g-^2) + -g ''4 р {es + \Рз t - ig*2) •
Однако, если мы уделим немного внимания природе этого процесса, то
увидим, что все последующие поправки, к которым он приводит, могут
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
267
быть только рациональными, целыми и однородными функциями второй степени
величин Я1( Я2, Я3, р,, р2, р3, g и что все они могут быть выражены в
форме их суммы или в форме полной искомой функции С :
С = р 2 tip (Яг Pi)2 + bf, рх (Яг - Pi) + Р2 C/i р2 +
+ Р"2 а," (h - Ра)2 + Ь" р2 (Я2 - р2) + р2 C/i р\ +
+ v"2 а, (Я3 - р3)2 + ft, р3 (Я3 - рз) + v2 с" р§ +
+ U g (Я3 - Рз) + v2 К gp3 + v2 g2, (163)
причем, поскольку коэффициенты а", а" и т. д. являются функциями малых
величин р vi v, а также времени, то остается только раскрыть их форму.
Отсюда, обозначая их дифференциалы, взятые по времени, в виде
da,t - a'^dt, dav = a'vdt, (164)
и подставляя выражение (162) в точное уравнение в частных производных
(158), мы приходим к шести уравнениям в обычных дифференциалах первого
порядка
2а;. = (2а" + "2 /)2; ft; = (2av+v21) (bv+t); c[. = у (ft, +
tf;
2' (165)
/; = (2a"+v20 (/" - i I2) ; p; = (ft,+/)(/, - ~ f) ; i' = у [f'~If*)
и к следующим условиям для определения шести произвольных постоянных,
введенных при интегрировании :
1 t t* ts t* ts
"о ~2t ' 2 ' = 24 ' ~ 24 ' = 9(T '
0(r)(r))
Таким образом, отмечая, что а", blh с^ могут быть получены из a,,, ft,,
с, заменой v на р, мы без труда находим
а" =
v21
y-VCtg Vt.
и j. , 1 J. vt
bv - - t + - tg~2~ ,
1 . 1 , vt
C" ~~ 9i;2 + ,i~tg 9'
i + ~Ctgvt,
/?" = iv =
2v*
t
J tg
V
