Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
^={й + (r)1 + (r)з) + ?,г 3+ y("2("7i + "7!) +Т2"?!} (Ill)
должно быть подставлено в общие формы (83) для того, чтобы образовать
шесть дифференциальных уравнений движения первого порядка, а именно :
d>h
dt
doil
dt
со.
1,
d'h
dt
dm.
~dt
- = o>9
Jlh
dt
dm3
dt
- g - v*rj3 .
(112)
Эти дифференциальные уравнения имеют в качестве своих точных интегралов
шесть следующих выражений [ш] :
rj1 - cos fi t + - sin (i t,
Iй
r\2 = e2cos lit + ^- sin fit,
yj3 = e3 cos v t + - sin v t -- vers v t,
(H3)
"1 = pi cos fi t - /i sin /л t, a>2 = p2 cos fi t - /1 e2 sin /i t,
"3 = Pacosvt - ("3 +-?) sinvt,
(114)
причем ev e2, e3, pv p2, p3 по-прежнему представляют собой начальные
значения функций г)1г г\2, г]3, a>v а>2, со3.
Применяя эти интегральные уравнения для вычисления функции S, т. е. для
вычисления с помощью формул (85) и (110) определенного интеграла
s== jp + 5S + 5i + (115)
мы находим :
l_
2
"'"4
~ (а>| + Щ + й|) = + Pt + р% + р? (el + е|) + (ve3 + -f) } +
+ х {/"! + Pi - ^ (el + el)} cos 2 fit-\p{e1pl + e2 p2) sin 2 /11 +
+ -\{pl - (^3 + f ) ) cos 2 vt - [ + -J] p3 sin 2 vt,
(116)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
259
U ¦
1
2ла 4 "4
Pi + Pz + Pz + P2 (cf + "1) + + ~j } +
+ x {Pi + Pl + /"2 (cf + c|)} cos 2 /i t - ~ fi (ег px + e2 p2) sin 2 ц t
+
+ T {Рз- ез + v)2} cos 2v i - ~ {v e3 + j-'j p3sin2vt, (117)
и отсюда
Jj2j
2v'
S=^ + \p\ + Pl- P* (el + el) sin
4 fi
(e1p1 + e2p2) vers 2/if +
+ jp|- + ?) vers 2,/. (118)
Однако для того, чтобы выразить эту функцию S, как это предполагается
нашим общим методом, в терминах конечных и начальных координат и времени,
мы должны применить аналогичные выражения для постоянных Pi, р2, р3,
выведенные из интегралов (113):
Р1
fi rjL - цех cos /л t sin ц t
Pz =
(1щ - /ле2 cos /i t
Pz =
sin fit '
(^3--|jcos vt
sin v t
(П9)
тогда находим
о _ (Vi - gt)2 + fa - e2)2 , v_ (rjз - e3)2
C5 n •> "Г о +" .. t +
2v2 1 2
P'
tg fit 2 tg vt
(4i Cl + % e2) tg Ц - T ("73 + -J) (c3 + -J-) tg
"2"
(120)
Эта главная функция S удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных
производных первого порядка вида (86):
ss
'dt
ss
dt
m,
(121)
и если ее форма была ранее найдена при помощи этих двух уравнений или
каким-нибудь другим способом, то тогда из нее можно (при помощи нашего
общего метода) вывести интегралы уравнений движения в форме:
&$ t
^i = -^=P(Vi- Ci) ctg /it - pex tg-~
ss
<fa
SS
"2 = = P (Ъ - C2) Ctg fit - pe2 tg ^
v (Ъ - c3) ctg vt - {ve3 + tg Ц-
(122)
17*
260
У. ГАМИЛЬТОН
dS
aL
2
Pi = = - ctg fit + PVi tg
SS
Pz = ~~Ж = /гЫ~ e2) Ctg fit + fxrj2 tg
Рз = " 4f~ = v ~ e** ctgvt + (" ъ + ~9 tg
nt
2
(123)
причем последние две группы уравнений совпадают с группой (119) или (113)
и в сочетании с первой группой (122) приводят к другой, ранее данной
группе интегралов (114).
25. Предположим теперь для иллюстрации теории возмущения, что
постоянные ц и v малы и что после разделения выражения (111) для Н на две
части :
Ht (0>? + + 04) + ;
Н2=Т ("2 (*Й + Vl) + v2 vl} ,
(124)
(125)
мы сперва пренебрегаем малой частью Н2 и таким образом посредством (88)
образуем более простые дифференциальные уравнения движения, которые мы
назовем невозмущенными:
<bh -
rfcuj,
dt
= 0,
dt
dco2
dt
= o,
dy з dt
dm3
~~dF
(126)
Эти новые уравнения имеют в качестве своих точных интегралов вида (94) и
(95) следующие выражения :
Vl~ei Pit , *?2 = е2 + /М> Vz = е3 + Ръ t - ~2 gt2 (127)
и _
(r)1 = Л, "2=/?2, "3 = P" - gt, (128)
а главная функция Sx того же невозмущенного движения будет согласно (89)
sx = | _ grjA dt = I (zL±^i±^L -g*-2gftf + g*) й =
o v ' о v '
= t _ gpst2 + |g2,3 (129)
или, наконец, согласно (127)
с _ ('h - ei)2 + (ч2 - f2)2 + (% - e3)2
~ ' 21
|gf(% + c3)-^g2f3. (130)
Эта функция удовлетворяет, как и должно быть, следующим двум уравнениям в
частных производных :
4г+4!(4!г) + (-§-) + (4|)}=-?"" ¦
(131)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
261
Если при помощи этих двух уравнений или любым другим путем мы находим
форму (130) главной функции Sv то из нее при помощи нашего общего метода
можно вывести интегральные уравнения (127) и (128) в следующем виде :
со, =
со, ==
Vi-
nt
Pi = Pz = Ps =
ss,
Svi
as,
Sv2
'^'i _____ Vs es
Sd~
SS, _ 0, Se,
SS,
Vt
Se,
SS, fjs
Se.
(132)
(133)
причем последняя из этих групп совпадает с выражением (127), а первая
группа с выражением (128).
26. Возвращаясь теперь от этого более простого движения к упомянутому
ранее более сложному движению и обозначая через S2 ту возмущающую часть,
или функцию, которая должна быть прибавлена к для того чтобы составить
полную главную функцию S этого более сложного движения, мы получаем путем
применения нашего общего метода следующее строгое выражение для этой
возмущающей функции :
s-=+Ш!+(-§-)>• <|34>
в котором мы можем пренебречь вторым определенным интегралом и вычислить
первый посредством уравнений невозмущенного движения. Таким образом,
посредством (125), (127) мы находим приближенно
