Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
в особенности теория возмущений, могут быть не без пользы
проиллюстрированы на следующих аналогичных рассуждениях и выводах,
относящихся к движению одной точки.
Представим себе точку с тремя прямоугольными координатами х, у, г,
движущуюся по орбите, определяемой тремя простыми дифференциальными
уравнениями второго порядка, имеющими форму, аналогичную уравнениям (2),
а именно :
= у = z" = 4r- (78)
причем U представляет собой любую данную функцию координат, не включающую
явно время, и установим следующее определение, аналогичное (4):
T = y(x'8 + y'8 + z'*). (79)
При этом х', у', г' представляют собой первые, а х", у", г" - вторые
производные координат, рассматриваемых как функции времени t. Если же для
большей общности или простоты выразить прямоугольные координаты х, у,
z как функции трех других отметок положения rjlt щ, то
Т превратится в однородную функцию второй степени их
первых производных
rj'v r/'2, rj'v взятых по времени, и если мы для сокращения положим
дТ - дт - дт /оп.
= = ^ = (8°)
то Т можно рассматривать так же, как функцию
т= F(wj, сд2, ю3, J?1, J?2, щ), (81)
являющуюся однородной функцией второй степени по отношению к а>1; сб2,
<й3. Можно также положить для сокращения
F("1, а>2, а>8 , j?i , щ, %) - U (% , %, щ) = Н, (82)
и тогда вместо трех дифференциальных уравнений второго порядка (78) мы
можем применить шесть следующих уравнений первого порядка, аналогичных
уравнениям (А) и полученных путем аналогичных рассуждений :
dv 1
дН да>1 ' dVi dt = +SH д(о2 ' + II s?l" "с Г3 дН д(д3
дН dw2 дН <ш3 дН
дЦ\ ' dt 'К ' dt дц3
dt ... ... . .
doll _
~dt
20. Строгие интегралы этих шести дифференциальных уравнений могут быть
выражены в следующих формах, аналогичных (В):
254
У. ГАМИЛЬТОН
где ev е2, е3, р1У р2> р3 представляют собой начальные значения или
значения при / = 0 величин rjv rj2, r?3, cov <o2, w3, a S представляет
собой определенный интеграл
" ¦ !- дН . - дн . - дН "Л ,0_.
S'= {{т'1>^ + т>1^+ю*Ж~н}й1' (85>
рассматриваемый как функция Vi, V& щ, ev е2, е3 и t. Величина Н не
меняется в процессе движения, и функция S должна удовлетворять следующим
двум уравнениям в частных производных первого порядка, аналогичным двум
уравнениям (С):
dS + Р 1 dS dS dS
"dt М . 6Vi ' дщ ' <5%
д S ¦ + i-1 ' dS dS dS
dt F( ,дех ' de2 ' de3
,Vi,Va,V^ = V (Vi, Vz, Vo)', , Ci , Co , f'3 | ¦ U (вх , Co , f'3) .
(86)
Отсюда эта важная функция S, которую можно назвать главной функцией
движения, может быть строго выражена в следующем виде, полученном путем
рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в седьмом параграфе этой
работы :
s = Sl + l {~^+ и^'%) - F Bt; ' %))dt +
f F ( ss dSt dS __ dS3 dS dS3
J 1(5"?! 6rj1 ' дщ дщ ' дщ дщ ,^1' ^2 > > (87)
при этом Sx представляет собой любую произвольную функцию тех же величин
Vi,Vi,Vs, ei> еа> с3, t, которые выбраны так, чтобы они исчезали со
временем. Если же эта произвольная функция Sx выбрана так, что она
представляет собой новое приближенное значение главной функции.S, то мы
можем во втором приближении пренебречь вторым определенным интегралом в
выражении (87).
21. Первое приближение этого рода мы получим, разделив выражение И (82)
на две части, из которых преобладающую обозначим через Hv а меньшую -
через #2, и, пренебрегая частью Н2, заменим дифференциальные уравнения
(83) другими, а именно:
дНг
dt
dHx d*l2 dHx dVz
doi3 ' dt dm2 ' dt
dH3 ddi3 d H, dw3
дщ ' dt ?3 "с i dt
dw1 дН1 doi3 dHj dw3 дНг
dt дщ ' dt дщ ' dt дг]3
(88)
После этого строго проинтегрируем эти упрощенные уравнения, относящиеся к
более простому движению, которое можно назвать невозмущенным движением
точки. Тогда для главной функции такого невозмущенного движения
определенный интеграл
s-=/(^+s^+s"-st-hk т
рассматриваемый как функция Vv V& Vz, ei, ez> es> U будет представлять
собой приближенное значение первоначальной функции S возмущенного
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
255
движения. Эта первоначальная функция соответствует более сложным
дифференциальным уравнениям :
drj1 <5Нг , <5Н2
dt Sio1 Soi1 '
drj2 _ SHX SH2
dt Sco, 6di2
dco1
SH3
<4
SH2 ftj, '
dco2 <5Hj
dt ~~ Srj2
±H2
<4
dt
da>2
~W
= SH1 SH
~ SB,
S(o,
SHl
SH2
<5%
(90)
Функция невозмущенного движения должна удовлетворять двум уравнениям в
частных производных первого порядка, аналогичным двум уравнениям (86), а
интегралы невозмущенного движения могут быть представлены следующим
образом :
_ SS, - SS, - <5S, 1
~ ~ sn~ '
} (91)
ss, ss,
Pt ~ Se^~ ' P*=-~st' P* = --Set'\
Svi ' <5Sj
в то время как интегралы возмущенного движения могут быть с одинаковой
строгостью выражены в следующих аналогичных формах :
Pi
ss, , ss, <4
<4 '
SS,
- ss. , ss,
(On = ¦ 4-------f-5-
OTJ 2 OTJ2
sst ss2
A-Y) 1 A-Y)
P2 = -
ss.
Set ' И2 Se2 Se,2 ' P3 St]s Se3
SS1
SS,
(92)
если S2 обозначает точную поправку функции Sx или возмущающую часть
полной главной функции S. Исходя из изложенной выше общей теории
