Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 116

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 461 >> Следующая

теперь принимает такой вид:
у ( ^#2 dk . 6Н2 dl) - /цп
* I дк dt "Г- <Ц dt ) ~ U • 'п)
17. е,, р(, очевидно, представляют собой начальные значения переменных
элементов ки Я, согласно определениям(72) и тождественным уравнениям(71).
Таким образом, задача строгого интегрирования уравнений возмущенного
движения (G), связывающего переменные ft, со, и время, или задача
определения этих переменных в качестве функций времени и их собственных
начальных значений е" р" строго преобразуется в задачу интегрирования
уравнений (G1) или определения 6п элементов kh Я,- как функций времени и
тех же самых начальных значений. Главное преимущество этого
преобразования заключается в том, что при малых возмущениях новые
переменные (т.е. элементы) меняются лишь незначительно, и еще в том, что
поскольку новые
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
251
дифференциальные уравнения имеют тот же вид, что и старые, их можно
интегрировать аналогичным способом. Следовательно, рассматривая
определенный интеграл
E = S(2X-??--Ht}dt (76)
о 4
как функцию времени и 6п величин к1г к2, ...., кзп, ev е2, ..., ет, и
заметив, что при помощи процесса, аналогичного тому, который дан в
четвертом параграфе настоящей работы, можно показать, что его вариация,
взятая по отношению к последним величинам, будет
<5 Е = 2(Хдк-рде), (I1)
мы находим, что строгие интегралы дифференциальных уравнений (G1) могут
быть выражены уравнениями
1 ?>Е SE /1ут\
' - Sei ' ^ )
в которые входит только одна неизвестная функция элементов ?, и проблема
возмущения при помощи этого нового метода сводится к отысканию и изучению
этой единственной функции.
Мы также могли положить
C=U-2k-^-+H,)dt (77)
о
и рассматривать этот определенный интеграл С как функцию времени и 6п
величин Я,-, pi и тогда нашли бы другие формы для интегралов
дифференциальных уравнений переменных элементов, а именно :
, | SC 6С /I i\
1 ~Ж ' dpi • ( )
При этом каждая из этих функций элементов С и ? должна удовлетворять
некоему уравнению в частных производных, аналогичному первому уравнению
из каждой пары, упомянутой в шестом параграфе этой работы и выведенной на
основе аналогичных принципов [ш].
18. Таким образом, из формы функции ? и из уравнений (К1), (G1) и (76)
видно, что частная производная этой функции, взятая по времени,
представляет собой
дЕ dE v SE dk
~W ~ ~di
следовательно, если мы разделим эту функцию ? на любые две части
?х + ?2 = ? (N1)
и если для общей ясности мы напишем выражение Н2 в виде
Н2 = Н2 (t, k±, k2, ... , k3n, Ях, Я2, ... , Я3"), (О1)
то получим строго уравнение в частных производных
л I ^2 I И (f к к ,^1 I SE% SE1 ЬЕг \ ?рп
и"_йГ + _аГ+ "Н ' •••' Зп' + ~бкГ' •••'>
Когда часть ?2 мала и мы пренебрегаем квадратами и произведениями ее
частных производных, эти уравнения с помощью (G1) и (К1) приближенно
v -- =-Яя; (М1)
252
У. ГАМИЛЬТОН
приводятся к следующему [ш]:
о ^2 I I jj (f и k ) mn
и - ~аГ + ~дГ + ' *1 ' •' • ' Кзп ' дк! ' • • • ' дкьп) '
^ '
Отсюда, с той же степенью приближения, видим, что если часть Ev подобно
полной функции Е, взята такой, чтобы она исчезала со временем, то мы
получим
Е2= - j + H2{t ,ki, ¦ ¦ ¦ , кг", > • ¦ ¦ > "а/с^")}dt (R1)
и, таким образом, первое приближенное выражение Ех можно последовательно
и неопределенно долго корректировать.
Посредством (L1) и (G1) и при помощи определения (77) имеем
дс dC дс <й _ ,сп
и поэтому функция С должна строго удовлетворять уравнению в частных
производных
т = Ч'7 **")• 'т'>
Если же мы положим, что
С = С, + С2, (U1)
и предположим, что часть С2 мала, то строгое уравнение
йСг | j, f. йСх <5С2 6С1 дС2 ., , Т /yi\
если принять во внимание равенства (G1) и (L1), приближенно приведется к
виду
т = -т?- + т&Л- •••"*") (W'>
и путем интегрирования превратится в следующее:
"2
|{-7+"•('¦¦7..................................1<х'>
причем предполагается, что части Сх и С2 исчезают раздельно, когда t = О,
подобно полной функции элементов С.
Для того же чтобы получить такое первое приближение Ег или Сх любой из
этих двух функций элементов Ей С, мы можем заменить в определениях (76) и
(77) переменные элементы к и Я их начальными значениями е и
р и
затем исключить одну группу этих начальных значений при помощи
соот-
ветствующей группы следующих приближенных уравнений, выведенных из
формулы (G1):
к, = е,+ ]'47< (Y1)
И
*i=pt-$-?rdt- (zl)
о
Отсюда легко можно видеть, что эти две функции элементов С и ? связаны
друг с другом [112], а также с возмущающей функцией S2, так что форма
любой из них может быть выведена из формы любой другой в том случае,
когда функция невозмущенного движения известна.
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
253
Аналогичные формулы для движения отдельной точки
19. Хотя наш общий метод в динамике предназначен главным образом для
изучения систем притягивающихся или отталкивающихся точек, он не
ограничивается ими, но может быть использован во всех вопросах, к которым
применяется закон живых сил. Все анализы, приведенные в данной работе, и
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed