Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
dt l's <r)1 V br\r dt 8<ii, drjr dt Scdr J nl I bojr dt St]r 8cdr
dt 8rjrJ'
(60)
которые мы далее будем вычислять отдельно и затем сложим вместе. Согласно
определению (54) и дифференциальным уравнениям возмущенного движения (G)
имеем равенства
d_ 8ki_ = 84j v3" j 84 f 8Hl 8H2\ _ 84j f 8Н± , SH2 \ I
dt 8air 8t8a>r "Ш)1 \ 8rju 8tor ( Sco,, 8a>u J 8oj" S7ar (, 8rju 8щ J J
'
(61)
в которых вследствие тождества (56)
84i_____________8_ fSki^ 8Н± _ 8ki_ 8Н?|
8t дсог 8сог ^\ 8г]и 8ши 8oru 8rju ) ' '
Поэтому мы имеем
AAA - узп ( &ki дН2 84, 8Н2 8ki 82Hl _ 8ki 82Н1 \
dt да>г iu)11 8г)и до), 8юи 8со,, 8сог 8щи 8юи 8ци 8сдг 8rj" 8aJu 8o>r J
(63)
А AA может быть найдена отсюда путем простой замены i на s, так что [10в]
узп (Jfo A Ah. _ АА A Ski) - V3П, 3n I ( dks d4j _
( Srjr dt 8dir 8rjr dt 8cor) - <r, u> 1.1 |( Srj, дш:18сог
_ 8ki_ 84 л 8Hz_ ( 8ki_ 84s __ Sk^ 84i \ SH2
Srjr дШи 8cdr J 8r/u I 8rjr 8rju Sat, 8r\r 8rj" Scor ) 8<ou
fSk^ 8ks _ Sk^ 8ki ^ S2H1 f 8k^ 8kj_ _ 8kt_ 82Hl |
V. Srj, 8Ши 8rjr 8cdu j 8rju 8cor v 8rjr 8rju Srjr 8rju ) 8cou Sat, J
(64)
и аналогично
узл ( dks d Ski __ Ski d 8ks\_____ ^-,3,, 3" If 8ks
84j
"<r)1 ( 8tor dt Srjr 80)r dt 8t]r J -<r'1,11.1 j j ggjr
8rju8rjr
_ Al d*ks ) 6Hi 1 (JAl 62k~ _ AA d*ki ) 6Hr 1
dWr Srj и Srjr J Scou l 8Шг 8Ши Srj- Sdjr 8wn 8rjr J 8rju
, f8ki_ 8ks_ _ SkL 8ki_\ 8*Нг f _Sks_ Ski_ _ Skt_ 8ks
\ 8iH1 |
( Sior Srj и дшг Stju J 8d)u8rjr (, S(d2 8dj_, 8cor 8cdu J
Srju Srjrf ' (65)
Следовательно, сложив два последних выражения и произведя необходимые
сокращения, мы находим при помощи соотношений (60) [10г]
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
249
где
4<U) = van ( Ms 'r'ki № '^2fc , Jki_ &ks _ 8ks &ki \
i,s <r)1 ( <5Tjr Soiudojr drj, д(ои8Шг 8cor da>u drjr 8a,r 8cou drjr j
'
mm = van ( *к' _ '9ks 4- dki (r)kl ] ffifiX
t,s jJml ( Sr/udrjr <5cur dijudrjr дщ 8rju dior дщ дщ дшг J "
Поскольку общая форма (D1) для ~ ai}S не содержит никакого члена, незави-
дн, дн,
симого от возмущающих величин , то отсюда легко сделатьважныи
вывод, уже упоминавшийся ранее, а именно, что производные a,jS в
дифференциалах (В1) элементов могут быть выражены как функций одних этих
элементов, не включающих явно время [108].
Очевидно также, что коэффициенты aiiS обладают следующим свойством :
as.t=-at,s (67)
а,., = 0; (68)
поэтому член, пропорциональный исчезает из выражения (В1) для
dki дН, дН, дН, dki
-д-, а член в выражении - при сложении уничтожает
8Н, дН, $ дн, dks '
член i в выражении Поэтому мы имеем
v ^2 dk " /'fix
^ д к dt ^ '
или
dHt _ дН2
dt 8t • v '
Это означает, что если мы берем первую полную производную возмущающего
выражения #2 по времени, то элементы могут рассматриваться как
постоянные.
Упрощение дифференциальных уравнений, определяющих постепенно
меняющиеся элементы в любой задаче на возмущение, и интегрирование
упрощенных уравнений посредством некоторых функций элементов
16. Самым естественным выбором таких элементов будет такой, при котором
они будут соответствовать при невозмущенном движении начальным величинам
еь /?,. Эти величины при помощи дифференциальных уравнений (Н) могут быть
выражены в невозмущенном движении следующим образом:
Г дН1 .и -if дН1
е' 7I> J Sd)i ' ~ I дщ ' ( )
о о '
и если мы предположим, что они найдены путем исключения в форме
Vi (r)i I Vl ' V'H f • • • > Vsn 1 f > 1 > w2 > • • • 1 w3n) 1 i (70)
Pi = Mi + 4'i(t, Vl, V 2, ¦ ¦ ¦ , Van, , w2, ... , Ю3п), (
250
У. ГАМИЛЬТОН
то легко видеть, что следующие уравнения должны быть строго и
тождественно истинными [1М] для всех значений rjh со,¦:
О (0> Vl ? Vi > • • • > Vin > > *°2 ) • • ¦ > WSn) , | (71)
0= У,-((), ft, ft, . . . , Ct^, C02, . . . , (c)*,). j
Поэтому, когда мы, переходя к возмущенному движению, устанавливаем
уравнения определения
Vi "Ь (?>Vl j V2 > ••• 1 Vsn > i • • • > ***311)
)
1 (72)
Я, = CO, + (t, Vi, ft , , coa , .. . , co3"),
вводя 6п переменных элементов kh Я,-, в которых группа Я,- была бы
представлена в нашем недавнем обозначении как
Я,- = kSn+t, (73)
(5А (5А* (5А
то мы видим, что все частные производные вида -щ-,
исчезают, когда f = 0, за исключением следующих :
W=1' ж=!- <74>
Поэтому, когда t = 0 в коэффициентах a, s (59), все эти
коэффициенты исче-
зают за исключением следующих:
&r,3n+r = 1 > ^3 n+r,r = 1 • "(7^)
Однако доказано, что эти коэффициенты а,5, когда они выражены
как
функции элементов, не содержат явно времени,' а предположение, что t = О,
не устанавливает никакого соотношения между этими 6п элементами klt Яь
которые по-прежнему остаются независимыми. Поэтому коэффициенты aUs не
могут приобрести значений 1, 0, -1 при предположении, что / = 0, если
только они не имели этих значений постоянно и независимо от этого
предположения, Отсюда дифференциальные уравнения вида (В1) могут быть
выражены для данной системы переменных элементов следующим, более простым
образом:
dki дн2 dXi 6Н2
(0)
Эти выражения легко можно проверить при помощи формулы (Е1), которая
